Cálculo de circulación

De Laplace

Revisión a fecha de 08:43 3 oct 2008; Antonio (Discusión | contribuciones)

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Contenido

1 Enunciado
2 Solución

1 Enunciado

Para el campo vectorial

$\mathbf{A} = (x-y)\mathbf{u}_{x}+(x+y)\mathbf{u}_{y}+z\mathbf{u}_{z}$

calcule su circulación a lo largo de las siguientes curvas cerradas:

Un cuadrado de lado $2 a$ , con vértices $\pm a\mathbf{u}_{x}\pm a\mathbf{u}_{y}$ .
Una circunferencia de radio $R$ situada en el plano $z = 0$ y con centro el origen de coordenadas.
Una circunferencia vertical, situada en el plano $x = y$ y con centro el origen de coordenadas.

En cada caso, halle la circulación por integración directa y por aplicación del teorema de Stokes.

2 Solución

2.1 Cuadrado

La circulación a lo largo del cuadrado se compone de cuatro tramos, que calculamos por separado:

2.1.1 Primer Lado

Para el lado situado en $x = a$ , $z = 0$ ,

$\mathbf{A} = (a-y)\mathbf{u}_{x}+(a+y)\mathbf{u}_{y}$ $\mathrm{d}{\mathbf{r}}=\mathrm{d}{y}\mathbf{u}_{y}$ $\Rightarrow$ $C_1 = \int_{-a}^a (a+y)\,\mathrm{d}{y} = 2a^2$

2.1.2 Segundo lado

Para el situado en $y = a$ , $z = 0$

$\mathbf{A} = (x-a)\mathbf{u}_{x}+(x+a)\mathbf{u}_{y}$ $\mathrm{d}{\mathbf{r}}=\mathrm{d}{x}\mathbf{u}_{x}$ $\Rightarrow$ $C_2 = \int_{a}^{-a} (x-a)\,\mathrm{d}{x} = 2a^2$

Nótese que no hace falta cambiar el signo a $\mathrm{d}{\mathbf{r}}$ , ya que el sentido de recorrido lo dan los límites de integración.

2.1.3 Tercer lado

Para el lado situado en $x = - a$ , $z = 0$ ,

$\mathbf{A} = (-a-y)\mathbf{u}_{x}+(-a+y)\mathbf{u}_{y}$ $\mathrm{d}{\mathbf{r}}=\mathrm{d}{y}\mathbf{u}_{y}$ $\Rightarrow$ $C_3 = \int_{a}^{-a} (-a+y)\,\mathrm{d}{y} = 2a^2$

2.1.4 Cuarto lado

Para el situado en $y = - a$ , $z = 0$

$\mathbf{A} = (x+a)\mathbf{u}_{x}+(x-a)\mathbf{u}_{y}$ $\mathrm{d}{\mathbf{r}}=\mathrm{d}{x}\mathbf{u}_{x}$ $\Rightarrow$ $C_4 = \int_{-a}^{a} (x+a)\,\mathrm{d}{x} = 2a^2$

2.1.5 Circulación

Sumando las cuatro contribuciones

$C = 2a^2+2a^2+2a^2+2a^2 = 8a^2\,$

2.1.6 Aplicación del teorema de Stokes

Empleando el teorema de Stokes tenemos

$\nabla\times\mathbf{A} = 2\mathbf{u}_{z}$ $\mathrm{d}{\mathbf{S}} = \mathrm{d}{x}\,\mathrm{d}{y}\,\mathbf{u}_{z}$ $\Rightarrow$ $C = \int_{-a}^a\int_{-a}^a 2\,\mathrm{d}{x}\,\mathrm{d}{y} = 8a^2$

2.2 Circunferencia horizontal

Para el caso de la circunferencia horizontal centrada en el origen, empleamos coordenadas cilíndricas, en las cuales esta circunferencia es una línea coordenada de $\varphi$ , con

ρ = R

,

z = 0

. De esta forma $\mathbf{A} = R\mathbf{u}_{\rho}+R\mathbf{u}_{\varphi}$ $\mathrm{d}\mathbf{r} = R\,\mathrm{d}\varphi\,\mathbf{u}_{\varphi}$ $\Rightarrow$ $C = \int_{-\pi}^\pi R^2\,\mathrm{d}\varphi = 2\pi R^2$

Esta misma circulación, mediante el teorema de Stokes sería

$C = \int_{-\pi}^\pi\int_0^R (2\mathbf{u}_{z})\cdot \left(\rho\,\mathrm{d}\rho\,\mathrm{d}\varphi\,\mathbf{u}_{z}\right) = 2\pi R^2$

donde hemos tomado como superficie de integración el círculo apoyado en la circunferencia en la que queremos hallar la circulación.

2.3 Circunferencia vertical

Cálculo de circulación

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

2 Solución

2.1 Cuadrado

2.1.1 Primer Lado

2.1.2 Segundo lado

2.1.3 Tercer lado

2.1.4 Cuarto lado

2.1.5 Circulación

2.1.6 Aplicación del teorema de Stokes

2.2 Circunferencia horizontal

2.3 Circunferencia vertical

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