Cálculo de circulación

De Laplace

Contenido 1 Enunciado 2 Solución 2.1 Cuadrado 2.1.1 Primer Lado 2.1.2 Segundo lado 2.1.3 Tercer lado 2.1.4 Cuarto lado 2.1.5 Circulación 2.1.6 Aplicación del teorema de Stokes 2.2 Circunferencia horizontal 2.3 Circunferencia vertical

1 Enunciado

Para el campo vectorial

calcule su circulación a lo largo de las siguientes curvas cerradas:

1. Un cuadrado de lado 2a, con vértices .
2. Una circunferencia de radio R situada en el plano z = 0 y con centro el origen de coordenadas.
3. Una circunferencia vertical, situada en el plano x = y y con centro el origen de coordenadas.

En cada caso, halle la circulación por integración directa y por aplicación del teorema de Stokes.

2 Solución

2.1 Cuadrado

La circulación a lo largo del cuadrado se compone de cuatro tramos, que calculamos por separado:

2.1.1 Primer Lado

Para el lado situado en x = a, z = 0,

              

2.1.2 Segundo lado

Para el situado en y = a, z = 0

              

Nótese que no hace falta cambiar el signo a , ya que el sentido de recorrido lo dan los límites de integración.

2.1.3 Tercer lado

Para el lado situado en x = − a, z = 0,

              

2.1.4 Cuarto lado

Para el situado en y = − a, z = 0

              

2.1.5 Circulación

Sumando las cuatro contribuciones

2.1.6 Aplicación del teorema de Stokes

Empleando el teorema de Stokes tenemos

              

2.2 Circunferencia horizontal

2.3 Circunferencia vertical