Energía electrostática en sistema de conductores esféricos (F2GIA)

De Laplace

Revisión a fecha de 10:57 7 jul 2012; Gabriel (Discusión | contribuciones)

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Contenido

1 Enunciado
2 Solución
- 2.1 Energía almacenada inicialmente
- 2.2 Energía en el sistema tras la conexión de las esferas

1 Enunciado

Se tienen dos esferas conductoras separadas por una distancia mucho mayor que sus respectivos radios, $R$ y $2 R$ , de modo que no hay una influencia apreciable entre ellas.

Las esferas conductoras se conectan a sendos generadores que establecen valores fijos de potencial, $2 V 0$ y $V 0$ , respectivamente. Una vez que se han cargado, se procede a su desconexión. ¿Qué cantidad de energía electrostática se almacena en el sistema?
Estando en la situación final del apartado anterior, la esferas se conectan entre sí mediante un cable conductor muy largo y con resistencia eléctrica no nula. Determine la cantidad de carga eléctrica y el valor del potencial en cada una de las esferas cuando el sistema recobra el equilibrio. ¿Qué cantidad de energía electrostática se habrá disipado en el cable por efecto Joule al final del proceso?

2 Solución

En un sistema electrostático donde la carga eléctrica se distribuye de forma continua en una determinada región de fuentes $\mathcal{F}$ , la energía electrostática almacenada en el sistema responde a la expresión,

$U_e=\frac{1}{2}\int_\mathcal{F}\! V\!\ \mathrm{d}q$

donde $V (r)$ es el potencial electrostático creado por la distribución. Como se recordará, esta energía es el trabajo externo que ha sido necesario realizar para configurar dicha distribución de carga eléctrica estática.

Obsérvese que la región $\mathcal{F}$ no ha de ser necesariamente conexa; es decir, puede estar formada por diferentes regiones, conectadas o no. Si las esferas conductoras del sistema analizado se cargan con sendas cantidades $Q 1$ y $Q 2$ de carga eléctrica, por ejemplo conectándolas a generadores que establezcan valores constantes del potencial en todos sus puntos, dichas cargas se distribuirán en el equilibrio exclusivamente en sus superficies $\partial\tau_1$ y $\partial\tau_2$ , según determinadas densidades superficiales, $\sigma_e\rfloor_{\partial\tau_1}$ y $\sigma_e\rfloor_{\partial\tau_2}$ :

$U_e=\frac{1}{2}\int_{\partial\tau_1}\! V(\mathbf{r})\!\ \sigma_e(\mathbf{r})\mathrm{d}S\ +\frac{1}{2}\int_{\partial\tau_2}\! V(\mathbf{r})\!\ \sigma_e(\mathbf{r})\mathrm{d}S$

Por otra parte, cada una de las superficies conductoras es una superficie equipotencial en la que el potencial electrostático tiene idéntico valor en todos sus puntos. Por tanto, se tendrá:

$\left.\begin{array}{l}\displaystyle V(\mathbf{r})\big\rfloor_{\partial\tau_1}=V_1\\ \\ \displaystyle V(\mathbf{r})\big\rfloor_{\partial\tau_2}=V_2\end{array}\right\}\;\;\Longrightarrow\quad U_e=\frac{1}{2}\left(V_1\int_{\partial\tau_1}\! \sigma_e(\mathbf{r})\mathrm{d}S\ +V_2\int_{\partial\tau_2}\! \sigma_e(\mathbf{r})\mathrm{d}S\right)=\frac{1}{2}\left(Q_1V_1+Q_2V_2\right)$

Por tanto, para calcular las cantidades de energía electrostática requeridos en el ejercicio, basta con determinar los valores de las cargas y los potenciales de las esferas conductoras en las dos situaciones indicadas.

Las relaciones entre cantidades de carga eléctrica y valores de los potenciales en un sistema formado por dos esferas conductoras, lo suficientemente alejadas para que su influencia mutua sea despreciable, ya fueron analizadas en otro ejercicio de examen esta asignatura. En esta configuración, puede considerarse que las cargas se distribuyen uniformemente en cada una de las superficies conductoras. Por tanto, el campo eléctrico creado por cada distribución van a ser radial respecto del centro de la esfera correspondiente y, en consecuencia, las equipotenciales en el entorno de cada esfera serán (prácticamente) superficies esféricas concéntricas con aquélla:

$V_1(\mathbf{r})\simeq k_e\ \frac{Q_1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_1|}\,\mathrm{;}\,\qquad V_2(\mathbf{r})\simeq k_e\ \frac{Q_2}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_2|}$

donde $\mathbf{r}_1$ y $\mathbf{r}_2$ son los radiovectores que indican la posición de los centros de las esferas, $O 1$ y $O 2$ , respecto del punto elegido como origen del sistema de referencia. En el sistema bajo estudio, los puntos de las superficies esféricas $\partial\tau_1$ y $\partial\tau_2$ se hallan a distancias $2 R$ y $R$ , de sus respectivos centros; por tanto,

$\begin{array}{l}\displaystyle V(\mathbf{r})\big\rfloor_{\partial\tau_1}=k_e\ \frac{Q_1}{2R}=V_1\quad\longrightarrow\quad Q_1=8\pi\varepsilon_0R\!\ V_1=C_1\!\ V_1\\ \\ \displaystyle V(\mathbf{r})\big\rfloor_{\partial\tau_2}=k_e\ \frac{Q_2}{R}=V_2\quad\longrightarrow\quad Q_2=4\pi\varepsilon_0R\!\ V_2=C_2\!\ V_2\end{array}$

Aclararemos que, aunque en realidad podría llegar a almacenarse una cierta cantidad de carga en el cable conductor utilizado para conectar las esferas, consideraremos que ésta va a ser despreciable frente a la que va a haber en las esferas. Esta simplificación no impide obtener resultados razonablemente precisos, siempre que tamaño de las esferas no sea demeasiado pequeño en relación con la longitud del hilo.

2.1 Energía almacenada inicialmente

En un sistema donde existe una distribuciones continua de carga eléctrica estática, la energía almacenada es

2.2 Energía en el sistema tras la conexión de las esferas

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