Ley de Ohm (GIE)

De Laplace

Revisión a fecha de 08:55 16 jun 2012; Antonio (Discusión | contribuciones)

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Contenido

1 Ley de Ohm
- 1.1 Aplicación a un conductor filiforme
2 Resistencia eléctrica
- 2.1 Asociaciones de resistencias
- 2.2 Cortocircuito y circuito abierto
3 Potencia eléctrica. Efecto Joule
- 3.1 Efecto Joule

1 Ley de Ohm

En los apartados anteriores hemos descrito el movimiento de las cargas, sin atender a las causas que lo producen. Para tener en cuenta las causas necesitaríamos o bien medir experimentalmente la corriente como función de otros parámetros, o bien analizar los diferentes modelos de conducción, para ver qué relación teórica hay entre la densidad de corriente y el campo eléctrico (y otras fuerzas aplicadas).

El resultado es que en la gran mayoría de las materiales existe una relación sencilla entre la densidad de corriente y el campo eléctrico en el interior del material. Esta relación es la ley de Ohm:

$\vec{J}=\sigma\vec{E}$

donde $σ$ es una propiedad de cada material conocida como su conductividad. Se mide en el SI en siemens/metro (S/m) y es la propiedad física que más cambia de unas sustancias a otras.

Material	$σ$ (S/m)	$ρ$ (Ω·m)
Plata	$6.29\times 10^{7}$	$1.59\times 10^{-8}$
Cobre	$5.96\times 10^{7}$	$1.72\times 10^{-8}$
Oro	$4.46\times 10^{7}$	$2.24\times 10^{-8}$
Hierro	$1.04\times 10^{7}$	$9.61\times 10^{-8}$
Agua de mar	$\simeq 4$	$\simeq 0.2$
Agua destilada	$\simeq 10^{-4}$	$\simeq 10^{4}$
Goma	$10 - 15 - 10 - 13$	$101 3 - 10 15$

A menudo se da como dato la inversa de la conductividad, llamada la resistividad ( $ρ$ o $r$ ), que se mide en Ω·m.

$r=\rho = \frac{1}{\sigma}\qquad\rightarrow\qquad \vec{E}= r\vec{J}$

La ley de Ohm nos dice sencillamente que si las cargas se mueven es porque hay un campo eléctrico que las empuja, aunque debido a la fricción con el material, no es la aceleración, sino la velocidad, la que es proporcional al campo eléctrico.

La ley de Ohm no es una ley universal. Solo se cumple en los llamados materiales óhmicos (que son la mayoría) pero no, por ejemplo, en los plasmas.

La excepción más importante de sistema en el que no se cumple la ley de Ohm es en un generador. Como veremos, en un generador la densidad de corriente va en sentido contrario al campo eléctrico, lo cual es la negación absoluta de la ley de Ohm.

1.1 Aplicación a un conductor filiforme

La ley de Ohm así enunciada no es como suele aparecer en los libros de teoría de circuitos. La razón es que al analizar un circuito no interesa tanto lo que ocurre en cada elemento de volumen, y sílo que ocurre a nivel macroscópico, mediante magnitudes medibles de forma sencilla como la intensidad de corriente y la diferencia de potencial.

Para llegar a la ley de Ohm tal como se ve en teoría de circuitos consideramos en primer lugar el caso de un conductor filiforme (un hilo), que es aquél que tiene una longitud mucho mayor que su diámetro y que su radio de curvatura. Este hilo va de un punto A a un punto B, siguiendo una cierta curva (no tiene por qué ser una recta). Suponemos que la intensidad de corriente fluye de A a B. Nos preguntamos por la diferencia de potencial entre los dos extremos. Por definición de d.d.p. tenemos que

$V_A- V_B = \int_A^B \vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{r}$

Puesto que en el cable se cumple la ley de Ohm

$V_A- V_B = \int_A^B \frac{\vec{J}}{\sigma}\cdot\mathrm{d}\vec{r}$

Al recorrer la curva que constituye un conductor filiforme el desplazamiento va en la dirección del vector tangente

$\mathrm{d}\vec{r}=\mathrm{d}l\,\vec{T}$

Por otro lado, por ser muy estrecho, la densidad de corriente va también en el sentido longitudinal

$\vec{J}=J\vec{T}$

lo que nos deja la d.d.p como la integral escalar

$V_A- V_B = \int_A^B \frac{J\,\mathrm{d}l}{\sigma}$

En el caso de un conductor filiforme se cumple además que la densidad de corriente es la misma en todos los puntos de una sección transversal, de forma que podemos hacer la aproximación

$J = \frac{I}{S}$

siendo $I$ la intensidad de corriente que circula por el cable. Esta intensidad es la misma a lo largo de todo él, por lo que podemos sacarla de la integral y nos queda finalmente

$V_A- V_B = I\int_A^B \frac{\mathrm{d}l}{\sigma S}= IR\qquad\qquad R = \int_A^B\frac{\mathrm{d}l}{\sigma S}$

La cantidad $R$ es la resistencia eléctrica del hilo. Es una integral porque, en principio, la conductividad y la sección pueden ir variando a lo largo del cable. En el caso común de un cable de un solo material con sección constante

$R = \int_A^B\frac{\mathrm{d}l}{\sigma S} = \frac{L}{\sigma S}=\frac{\rho L}{S}\qquad(\sigma, S\ \mbox{constantes})$

2 Resistencia eléctrica

Acabamos de ver que en un cable hecho de un material óhmico se cumple una relación de proporcionalidad entre la diferencia de potencial entre sus extremos y la intensidad de corriente que circula por el cable

$V_A-V_B = IR\,$

Esta es la llamada ley de Ohm en la teoría de circuitos y es generalizable a gran variedad de situaciones aunque no tengamos un hilo. Siempre que haya dos electrodos entre los cuales se encuentra un material (o materiales) óhmicos, se cumple esta misma relación, aunque el valor de la resistencia será una función complicada de la geometría y los materiales interpuestos.

La resistencia eléctrica se mide en ohmios (Ω) definidos como

$1\,\Omega = \frac{1\,\mathrm{V}}{1\,\mathrm{A}}$

La ley de Ohm circuital también puede escribirse

$I=\frac{V_A-V_B}{R}=G(V_A-V_B)$

donde G = 1/R es la conductancia del sistema, medida en siemens (S)

$1\,\mathrm{S}=1\,\Omega^{-1}= \frac{1\,\mathrm{A}}{1\,\mathrm{V}}$

En las expresiones anteriores, para que salgan los signos correctos, si se halla la diferencia de potencial entre A y B, hay que suponer que la corriente va de A a B. Si se da la vuelta a ambas magnitudes, sigue saliendo el resultado correcto, pero si solo se la da la vuelta a una resulta el signo incorrecto.

Un elemento de circuito caracterizado por poseer una resistencia eléctrica se denomina un resistor (del mismo modo que uno que tiene capacidad es un condensador), aunque se usa a menudo la palabra resistencia tanto para el dispositivo como para su propiedad. Su símbolo es una línea quebrada o un rectángulo.

2.1 Asociaciones de resistencias

De manera análoga a los condensadores, los resistores pueden combinarse para formar un circuito con múltiples elementos. Como con los condensadores tenemos dos casos particulares:

Resistencias en serie: cuando no hay ninguna derivación en el punto de conexión, de manera que toda la corriente que pasa por una pasa por la otra

$I_1 = I_2=I\,$

La diferencia de potencial de la asociación es la suma de las individuales. Si A y B son los extremos y C es el punto de conexión

$V_A - V_B = V_A - V_C + V_C - V_B = IR_1+IR_2 = I(R_1+R_2)\,$

por lo que la resistencia equivalente a una asociación en serie de dos resistores es la suma de las resistencias individuales

$R_\mathrm{eq}=R_1+R_2\,$

Resistencias en paralelo: cuando se encuentran conectadas por sus dos extremos A y B de forma que la d.d.p. en ambos resistores es la misma

$\Delta V_1 = \Delta V_2 = V_A-V_B\,$

La corriente que llega a la asociación es en este caso la suma de las dos individuales

$\frac{\Delta V}{R_\mathrm{eq}}=I= I_1 + I_2 = \frac{\Delta V}{R_1}+\frac{\Delta V}{R_2}=\left(\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}\right)\Delta V$

En una asociación en paralelo la conductancia equivalente es la suma de las conductancias individuales

$\frac{1}{R_\mathrm{eq}} = \frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}\qquad\qquad G_\mathrm{eq}=G_1+G_2$

2.2 Cortocircuito y circuito abierto

Circuito abierto: Un circuito está abierto cuando entre dos puntos se produce una interrupción o se intercala un dieléctrico ideal que impide el paso de corriente. Matemáticamente equivale a decir que entre los puntos se encuentra una conductancia nula (o una resistencia infinita) y por el tramo abierto

$G=0\qquad\qquad R \to\infty\qquad\Rightarrow\qquad I=0$

Cortocircuito: Un conector ideal en un circuito es un cable que no tiene resistencia eléctrica, $R = 0$ . Esto, por supuesto, constituye una aproximación, pero es razonable si estamos hablando, por ejemplo, de un hilo de cobre con resistencias de miliohmios que conecta dos resistencias de kiloohmios. Gráficamente se representa por una línea simple.

En un conector ideal no hay diferencia de potencial entre sus extremos

$R=0\qquad\Rightarrow\qquad V_B - V_A = IR = 0\,$

y por tanto todos sus puntos se encuentran al mismo potencial. Desde el punto de vista del circuito equivalente, todos sus puntos son el mismo. Cuando dos elementos están unidos por un conector ideal se dice que están en cortocircuito. Si se coloca un cortocircuito entre dos puntos situados a una cierta diferencia de potencial, el resultado es una corriente de gran intensidad (idealmente infinita), que puede quemar los dispositivos.

3 Potencia eléctrica. Efecto Joule

La transmisión de una corriente eléctrica implica un consumo de energía.

Imaginemos un sistema (no necesariamente óhmico) con dos extremos A y B, situados a potenciales $V A$ y $V B$ . Si una carga $d Q$ entra por A y la misma carga sale por B, se ha realizado un trabajo sobre el sistema igual al producto de la carga por la diferencia de potencial

$\delta W_\mathrm{in}=\mathrm{d}Q\,(V_B-V_A)$

La carga que atraviesa el sistema es proporcional a la intensidad de corriente

$\mathrm{d}Q=I\,\mathrm{d}t\qquad\Rightarrow\qquad \delta W_\mathrm{in}=I\,(V_B-V_A)\,\mathrm{d}t$

La potencias desarrollada sobre el sistema (el flujo de trabajo hacia el interior) será igual a

$P_\mathrm{in}=\dot{W}_\mathrm{in}=I(V_B-V_A)$

Si consideramos la potencia desarrollada por el sistema sobre el entorno

$P_\mathrm{out}=-P_\mathrm{in}=I(V_A-V_B)\,$

(suponemos en todo momento que la corriente va de A a B).

Este resultado es bastante general. Si existe una corriente circulando desde un punto A a uno B y el potencial eléctrico aumenta ( $V B > V A$ ) es porque se está introduciendo energía en el sistema eléctrico. Si por el contrario el potencial disminuye ( $V A > V B$ ) la energía se está sacando del sistema eléctrico. Esto es cierto tanto para resistencias como para motores o generadores.

3.1 Efecto Joule

En el caso particular de una resistencia el potencial final es siempre menor que el inicial, de manera que tenemos

$P_\mathrm{out}=I (V_A-V_B) = I^2R\,$

esta es la llamada ley de Joule (o efecto Joule). En una resistencia eléctrica se disipa energía eléctrica. Esta energía o bien se radia al exterior en forma de calor (que es la base de las estufas y calefactores de resistencia) o bien queda como un aumento de la energía interna (lo que se ve como un aumento de la temperatura del cable), o ambas cosas a la vez.

Alternativamente esta potencia puede escribirse

$P_\mathrm{out}=\frac{(V_A-V_B)^2}{R}$

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1.1 Aplicación a un conductor filiforme

2 Resistencia eléctrica

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