Circuito variable en plano inclinado (F2GIA)

De Laplace

Revisión a fecha de 18:56 3 jun 2012; Gabriel (Discusión | contribuciones)

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Contenido

1 Enunciado
2 Solución
- 2.1 Intensidad de corriente y velocidad límite
  - 2.1.1 Flujo del campo magnético y fuerza electromotriz inducidad en el circuito
  - 2.1.2 Expresión de la intensidad de corriente y velocidad límite de la varilla

1 Enunciado

Una varilla conductora de masa $m=2.0\,\mathrm{kg}\,$ se deja caer deslizando sin rozamiento por dos guías metálicas paralelas separadas una distancia $l=5.0\,\mathrm{m}\,$ contenidas en un plano inclinado que forma un ángulo

α = 10 o

con la horizontal. La dirección de la varilla es, en todo instante, perpendicular a las guías, las cuáles tienen conectados sus extremos mediante un cable de resistencia eléctrica $R=10\,\Omega$ , que cierra el circuito. Las resistencias eléctricas de la varilla y las guías son despreciables. El sistema descrito se halla inmerso en un campo magnético uniforme y constante, $\mathbf{B}_0$ , de $0.5\,\mathrm{T}\,$ de intensidad, aplicado en dirección vertical y sentido contrario a la gravedad. Calcule:

Corriente inducida en el circuito y velocidad límite que alcanzará la varilla.
Potencia disipada por efecto Joule en la resistencia. Compare esta potencia con el trabajo que por unidad de tiempo realiza la fuerza peso sobre la varilla.

2 Solución

Las dos guías paralelas conectadas por el cable y en contacto con la varilla móvil, constituyen un circuito cerrado $\partial S$ por el que puede circular una corriente eléctrica, al tratarse de materiales conductores. Al poder desplazarse la varilla sobre las guías, se trata de un circuito variable en el que las resistencias eléctricas de estos elementos son despreciables frente a la $R=10\,\Omega$ del cable.

2.1 Intensidad de corriente y velocidad límite

Consideremos la superficie plana $S$ delimitada por el circuito $\partial S$ . La acción de la gravedad sobre la varilla pesada provoca el deslizamiento (sin rozamiento apreciable) de ésta sobre las guías inclinadas un ángulo $α$ respecto de la horizontal y, por tanto, la variación del área de dicha superficie, $S = S (t)$ . Esto se traducirá también en la variación del flujo a través de aquélla del campo magnético existente y, en virtud de la ley de inducción electromagnética, producirá una fuerza electromotriz inducida y una intensidad de corriente $I$ en el circuito $\partial S$ .

Adoptamos un sistema de referencia cartesiano cuyo eje $X$ es paralelo a las guías, y con el eje $Y$ perpendicular al plano inclinado que las soporta. La varilla móvil se mantendrá siempre paralela al eje $X$ , y su desplazamiento estará descrito por una vector velocidad $\mathbf{v}(t)=v(t)\!\ \mathbf{i}$ .

2.1.1 Flujo del campo magnético y fuerza electromotriz inducidad en el circuito

En primer lugar, procederemos a discutir acerca del campo magnético existente en el el entorno del circuito: por un lado, está el campo uniforme aplicado en la dirección de la vertical gravitatoria, y cuya descripción analítica en el sistema de referencia adoptado será:

$\mathbf{B}_0=B_0\!\ \left(-\,\mathrm{sen}\,\alpha\!\ \mathbf{i}+\cos\alpha\!\ \mathbf{j}\right)\mathrm{,}\quad\,\mathrm{con}\,\;\;B_0=|\mathbf{B}_0|=0.5\,\mathrm{T}\,$

Pero si el movimiento de la varilla tiene como consecuencia la aparición de una fuerza electromotriz y una corriente $I$ inducidas, esta última será fuentes de un campo magnético, que denominaremos $\mathbf{B}_\mathrm{ind}$ , y que también contribuirá al flujo magnético a través de la superficie delimitada por el circuito/espira $\partial S$ . Nótese que este flujo del campo inducido va a ser proporcional a la intensidad de corriente $I$ que lo genera, siendo la constante de proporcionalidad la autoinducción $L$ de la espira que, por otra parte, será variable al cambiar la forma de la ésta:

$\Phi_m\big\rfloor_S(t)=\int_{S(t)}\!\left(\mathbf{B}_0+\mathbf{B}_\mathrm{ind}\right)\cdot\mathrm{d} \mathbf{S}=\int_{S(t)}\!\mathbf{B}_0\cdot\mathrm{d} \mathbf{S}+L(t)I(t)$

El valor de la autoinducción de la espira variable no es conocido, ni tampoco fácil de determinar. Sin embargo, esto no supone problema alguno pues la contribución al flujo magnético de la corriente inducida puede ser despreciada frente al flujo del campo uniforme, siempre que la intensidad de éste tenga un valor aprecible, como es el caso. Obsérvese que cuando la varilla empieza a moverse, la intensidad de corriente inducida es casi nula y, en general esto mismo ocurre con la autoinducción de la espira, de manera que el producto de ambas cantidades va a perfectamente despreciable frente al flujo de un campo de magnético de medio tesla. Cuando la varilla aumente su velocidad, la intensidad de corriente inducida también irá aumentando, pero esto ocurre a costa de que el circuito/espira se vaya haciendo cada vez más pequeño y, por tanto, que disminuya el valor de la autoinducción. En consecuencia, la contribución al flujo del campo magnético inducido se mantendrá siempre en valores casi nulos:

$\forall\, t\,\mathrm{,}\,\;\;L(t)I(t)\simeq 0\quad\Longrightarrow\quad\Phi_m\big\rfloor_{S(t)}\simeq\int_{S(t)}\!\mathbf{B}_0\cdot\mathrm{d} \mathbf{S}= B_0\cos\alpha\!\ S(t)$

donde los elementos de superficie en la $S (t)$ tiene la dirección y sentido del eje $Y$ , $\mathrm{d}\mathbf{S}=\mathrm{d}S\!\ \mathbf{j}$ . Por su parte, el área de la superficie plana delimitada por el circuito en un instante arbitario $t$ , tras iniciarse el movimiento de la varilla, será igual al valor inicial de la dicha superficie menos el área del rectángulo barrido por la varilla en su movimiento durante dicho intervalo de tiempo. En conscuencia, la fuerza electromotriz inducida en el circuito debido a la variación de su forma, es:

$\displaystyle S(t)=S_0-lx(t)\quad\Longrightarrow\quad\mathcal{E}_\mathrm{ind}=-\frac{\mathrm{d}\Phi_m}{\mathrm{d}t}\bigg\rfloor_{S(t)}=-B_0\cos\alpha\frac{\mathrm{d}S(t)}{\mathrm{d}t}=B_0lv(t)\cos\alpha$

ya que la celeridad instantánea con que la se desplaza a lo largo del eje $X$ es... $\displaystyle v(t)=\frac{\mathrm{d}x(t)}{\mathrm{d}t}$ .

2.1.2 Expresión de la intensidad de corriente y velocidad límite de la varilla

La ecuación del circuito $\partial S$ establece que la suma de todas las fuerzas electromotrices (de generadores y/o inducidas) presentes en la espira, serán iguales a las caídas de tensión de las diferentes resistencias en serie existentes en el circuito. En este caso, sólo hay la fuerza elecmotriz inducidad calculada en el apartado anterior, la intensidas de corriente es la misma $I (t)$ inducida en todos los puntos del circuito, y la única resistencia apreciable es la $R$ del cable. Se tendrá, por tanto,

$\mathcal{E}_\mathrm{ind}=B_0lv(t)\cos\alpha=RI(t)\quad\Longrightarrow\quad I(t)=\frac{B_0l\cos\alpha}{R}\ v(t)$

Es decir, en cada instante de tiempo la intensidad de la corriente que recorre el circuito es proporcional a la velocidad de la varilla, donde la constante de proporcionalidad está determinada por la intensidad y dirección del campo mangético, la separación de las guías y la resistencia eléctrica del cable. Por otra parte, siempre que la varilla descienda por el plano inclinado, moviéndose en el establecido como sentido positivo del eje $X$ , la intensidad de corriente también va a ser positiva; es decir, que la corriente eléctrica inducida recorrerá el circuito/espira $\partial S$ en el sentido antihorario, que es el sentido positivo congruente con la elección que hemos hecho de los $\,\mathrm{d}\mathbf{S}$ .

Obsérvese también cómo se verifica la ley de Lenz: el movimiento de la varilla provoca una disminución del área delimitada por el circuito y una disminución también del flujo magnético ya que, con la elección de los $\,\mathrm{d}\mathbf{S}$ , dicho flujo es positivo. La corriente inducida tiene sentido positivo, de manera que creará un campo magnético en el sentido de los $\,\mathrm{d}\mathbf{S}$ , que contribuirá al aumento del flujo magnético oponiéndose, por tanto, al efecto del movimiento de la varilla sobre dicha magnitud.

Para completar el análisis del sistema debemos determinar cómo es la ley $v (t)$ que describe la evolución de la velocidad de la varilla o, al menos, obtener la ecuación diferencial que gobierna dicha evolución. Para ello aplicamos, la segunda ley de Newton: la resultante de las fuerzas qué actúan sobre la varilla es igual al producto de la masa por la aceleración del centro de masas de la varilla. Las fuerzas que actúan sobre ésta son: la fuerza peso $\mathbf{P}$ , o acción de la gravedad, la fuerza de reacción normal $\mathbf{N}$ , que impide cualquier movimiento de la varilla que no sea el deslizamiento sobre las guías, y la fuerza magnética $\mathbf{F}_m$ que ejerce el campo magnético $\mathbf{B}_0$ sobre la corriente eléctrica inducida $I (t)$ , entre los extremos $A$ y $B$ de la varilla:

$\mathbf{P}=m\!\ \mathbf{g}=mg\!\ \left(\mathrm{sen}\,\alpha\!\ \mathbf{i}-\cos\alpha\!\ \mathbf{j}\right)\mathrm{;}\qquad\,\mathbf{N}=N\!\ \mathbf{j}\quad(N\geq 0)$

$\mathbf{F}_m=\int_A^B\!I\mathrm{d}\mathbf{r}\times\mathbf{B}_0=I(t)\ \overrightarrow{AB}\times\mathbf{B}_0\quad\longrightarrow\quad\mathbf{F}_m=-\frac{l^2B_0^2\cos\alpha}{R}\ v(t)\!\ \left[\cos\alpha\!\ \mathbf{i}+\,\mathrm{sen}\,\alpha\!\ \mathbf{j}\right]$

Como la varilla no puede girar debido al contacto con las guías, la aceleración del centro de masas es la misma que la de cualquiera de sus puntos y, por tanto, será igual a la variación por unidad de tiempo de la velocidad instantánea de la varilla, $\mathbf{v}(t)=v(t)\!\ \mathbf{i}$ . Se obtienen, entonces las siguientes ecuaciones:

$\mathbf{P}+\mathbf{N}+\mathbf{F}_m=m\!\ \frac{\mathrm{d}\mathbf{v}(t)}{\mathrm{d}t}\quad\longrightarrow\quad\left\{\begin{array}{l}\displaystyle mg\,\mathrm{sen}\,\alpha-\frac{l^2B_0^2\cos^2\alpha}{R}\ v(t)=m\frac{\mathrm{d}v(t)}{\mathrm{d}t}\\ \\ \displaystyle -mg\cos\alpha+N-\frac{l^2B_0^2\cos\alpha\,\mathrm{sen}\,\alpha}{R}\ v(t)=0\end{array}\right.$

La segunda de las ecuaciones anteriores sólo permite determinar el valor de la fuerza de reacción vincular equivalente a la acción de las dos guías sobre la varilla, mientras que la primera es la ecuación característica de la evolución de la velocidad de la varilla. La solución de esta ecuación diferencial nos proporciona una descripción instantánea del movimiento de la varilla y, en conscuencia, de la evolución temporal de la intensidad de corriente inducida en el circuito variable bajo estudio.

Sin embargo, en el ejercicio sólo se piden los valores máximos que van a alcanzar dichas magnitudes físicas, los cuales pueden obtenerse a partir de aquella ecuación diferencial, aunque sin necesidad de resolverla explícitamente. Veamos: en el instante inicial, en el cual suponemos que la varilla está en reposo, no hay fuerza magnética actuando sobre ésta, por lo que la aceleración inicial es debida exclusivamente a la componente de la dirección $X$ de la fuerza peso (que se mantiene constante en todo instante):

$v(t=0)=0\quad\Longrightarrow\quad \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\bigg\rfloor_{t=0}=a(t=0)=g\,\mathrm{sen}\,\alpha$

De esta forma, la velocidad de la varilla comienza a crecer, pero esto hace que aumente la intensidad de corriente en el circuito y, en consecuencia, la fuerza magnética sobre la varilla que, como hemos visto, es proporcional a la velocidad y tiende a frenar el movimiento de la varilla en el sentido positivo del eje $X$ . Es decir, la acelaración de la varilla será cada vez menor cuanto mayor es su velocidad hasta que, e incluso aquella tiende a anularse conforme la velocidad se aproxima a cierto valor crítico $v l$ que depende de los parámetros geométricos y eléctricos del sistema, así como del campo magnético externo aplicado:

$v_l=\frac{mgR\,\mathrm{sen}\,\alpha}{l^2B_0^2\cos^2\alpha}\quad\Longrightarrow\quad\frac{\mathrm{d}v(t)}{\mathrm{d}t}\ \mathop{\longrightarrow}_{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!v\rightarrow v_l}\ 0$

Obsérvese que esto ocurre según la fuerza magnética sobre la varilla va creciendo paulatinamente y tiende a compensar o anular la componente $X$ de la fuerza peso. Y cuando la aceleración de la varilla tiende a anularse, la velocidad de la varilla y, por tanto,la intensidad y la fuerza magnética tenderán a estabilizarse en valores constantes que dan lugar a una situación de equilibrio dinámico en que la resultante de todas las fuerzas, incluida dicha fuerza magnética, es el vector nulo. Se tendrá, por tanto, que el valor crítico de velocidad antes determinado será el límite máximo para la velocidad de la varilla, el cuál se corresponderá con un valor máximo de intensidad de corriente en el circuito:

$v_\mathrm{max}=v_l=\frac{mgR\,\mathrm{sen}\,\alpha}{l^2B_0^2\cos^2\alpha}\quad\Longrightarrow\quad I_\mathrm{max}=\frac{mg\,\mathrm{sen}\,\alpha}{lB_0\cos\alpha}=\frac{mg}{lB_0}\ \tan\alpha$

Circuito variable en plano inclinado (F2GIA)

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2 Solución

2.1 Intensidad de corriente y velocidad límite

2.1.1 Flujo del campo magnético y fuerza electromotriz inducidad en el circuito

2.1.2 Expresión de la intensidad de corriente y velocidad límite de la varilla

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