Tres placas conductoras paralelas

De Laplace

Revisión a fecha de 11:15 13 may 2012; Antonio (Discusión | contribuciones)

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Contenido

1 Enunciado
2 Introducción
3 Primer caso
4 Segundo caso
5 Tercer caso

1 Enunciado

Se colocan paralelamente tres placas metálicas cuadradas de 20 cm de lado y espesor despreciable, estando la primera separada de la segunda una distancia de 0.2 mm y ésta de la tercera 0.8 mm. Halle:

La carga almacenada en cada placa.
El potencial al que se encuentra cada una.
El campo eléctrico entre las placas.
La energía almacenada en el sistema.

para los siguientes casos:

La placa central está aislada y descargada, la primera a 24 V y la tercera a tierra.
La placa central está a 24 V y las otras dos a tierra.
La primera está a −24 V, la central a +24 V y la tercera a tierra.

2 Introducción

Las tres placas cuadradas forman dos condensadores planos; uno que denotaremos “a” entre la placa 1 y la 2 y otro "b" entre la 2 y la 3. Las capacidades respectivas valen

$C_a = \frac{\varepsilon_0S}{a}=\frac{8.85\times 10^{-12}\times 0.20^2}{2\times 10^{-4}}\,\mathrm{F}=1.77\,\mathrm{nF}$ $C_b =\frac{8.85\times 10^{-12}\times 0.20^2}{8\times 10^{-4}}\,\mathrm{F}=0.443\,\mathrm{nF}=\frac{C_1}{4}$

Estos condensadores están situados entre tres nodos (uno por cada placa), de los cuales podemos conocer su carga o su potencial.

En un condensador plano, la carga en una cara de una placa es proporcional a la diferencia de potencial

$Q_1 = C(V_1-V_2)\,$

Para la placa central, que forma parte de dos condensadores, su carga total será la suma de la que tiene en sus dos caras.

El campo eléctrico que va de la placa 1 a la 2 de un condensador plano

$\vec{E}=\frac{V_1-V_2}{a}\,\vec{u}_{12}$

La energía almacenada en cada condensador plano es proporcional al cuadrado de la diferencia de potencial

$U_\mathrm{e}=\frac{1}{2}C(V_1-V_2)^2$

Esto quiere decir que si el voltaje de las tres placas valen respectivamente $V 1$ , $V 2$ y $V 3$ , las cargas respectivas valen

$Q_1 = C_a(V_1-V_2)\qquad\qquad Q_2 = C_a(V_2-V_1)+C_b(V_2-V_3)\qquad Q_3 = C_3(V_b-V_a)$

siendo la energía total del sistema

$U_e = \frac{1}{2}C_a(V_1-V_2)^2+\frac{1}{2}C_b(V_2-V_3)^2$

3 Primer caso

En el primer caso, la placa central está aislada y descargada ( $Q 2 = 0$ ). Esto implica que la carga en una de sus caras es igual y de signo opuesto a la de la otra cara, por lo que la carga de los dos condenadores es la misma. Esto equivale a una asociación en serie de dos condensadores, cumpliendo la capacidad equivalente

$\frac{1}{C_\mathrm{eq}}=\frac{1}{C_a}+\frac{1}{C_b}=\left(\frac{1}{1.77}+\frac{1}{0.443}\right)\mathrm{nF}^{-1}\qquad\Rightarrow\qquad C_\mathrm{eq}=0.354\,\mathrm{nF}$

Nótese que la capacidad equivalente de una asociación en serie es menor que las dos individuales.

La diferencia de potencial en este condensador equivalente es la existente entre la primera placa y la tercera

$V_1 = 24\,\mathrm{V}\qquad\qquad V_3 = 0\,\mathrm{V}\qquad\qquad \Delta V = 24\,\mathrm{V}$

lo cual nos da las cargas en las tres placas

$Q_1 = C_\mathrm{eq}\,\Delta V = 0.354\times 24\,\mathrm{nC}=8.50\,\mathrm{nC}\qquad\qquad Q_2 = 0\,\mathrm{nC}\qquad Q_3 = -Q_1 = -8.50\,\mathrm{nC}$

El voltaje de la placa central lo obtenemos de uno de los condensadores, a partir de la carga que acabamos de calcular

$\overbrace{V_3}^{=0}-V_2 = \frac{Q_3}{C_b}\qquad\Rightarrow\qquad V_2 = -\frac{-0.85\,\mathrm{nC}}{0.443\,\mathrm{nF}}=19.2\,\mathrm{V}$

El campo eléctrico en cada región lo hallamos a partir de cada diferencia de potencial. Si tomamos como eje Z el perpendicular a las placas y en el sentido de la 1 a la 3, queda en el primer condensador

$\vec{E}_a=\frac{V_1-V_2}{a}\vec{k}=\frac{(24.0-19.2)}{2\times 10^{-4}}\vec{k}\,\frac{\mathrm{V}}{\mathrm{m}}=24.0\,\vec{k}\,\frac{\mathrm{kV}}{\mathrm{m}}$

y en el segundo

$\vec{E}_b=\frac{V_2-V_3}{a}\vec{k}=\frac{(19.2-0.0)}{2\times 10^{-4}}\vec{k}\,\frac{\mathrm{V}}{\mathrm{m}}=24.0\,\vec{k}\,\frac{\mathrm{kV}}{\mathrm{m}}$

No es casual que el resultado sea el mismo. Dado que la placa central está descargada, la densidad de carga en una cara es igual a la de la otra, cambiada de signo, y por tanto el campo a los dos lados de la placa (que es igual a $\sigma_s/\varepsilon_0$ ) debe tener el mismo valor.

La energía almacenada la podemos hallar sumando las de los dos condensadores

$U_\mathrm{e}=\left(\frac{1}{2}1.77(24-19.2)^2 + \frac{1}{2}0.443(19.2-0)^2\right)\mathrm{nJ}=0.102\,\mu\mathrm{J}$

o directamente a partir del condensador equivalente

$U_\mathrm{e}=\frac{1}{2}C_\mathrm{e}(V_1-V_3)^2=0.102\,\mu\mathrm{J}$

4 Segundo caso

En el segundo caso, se nos dice que los voltajes de cada una de las placas valen

$V_1 = 0\,\mathrm{V}\qquad\qquad V_2 = 24\,\mathrm{V}\qquad\qquad V_3 = 0\,\mathrm{V}$

Los dos condensadores tienen uno de sus nodos al mismo potencial, el de la placa central y el otro a tierra. Por tanto los dos condensadores se encuentran en paralelo, siendo equivalentes a un solo condensador de capacidad

$C_\mathrm{eq}=C_a+C_b = 2.21\,\mathrm{nF}$

La carga de cada placa la da la diferencia de potencial en cada condensador: para la placa 1

$Q_1 = C_a(V_1-V_2) = 1.77(0-24)\,\mathrm{nC}=-4.25\,\mathrm{nC}$

Para la 3

$Q_3 = C_b(V_3-V_2) = 0.443(0-24)\,\mathrm{nC}=-1.06\,\mathrm{nC}$

y para la placa central

$Q_2 = C_a(V_2-V_1)+C_b(V_2-V_3) = (C_a+C_b)V_2=+5.31\,\mathrm{nC}$

El campo entre las placas es ahora diferente en cada condensador

$\vec{E}_a=\frac{V_1-V_2}{a}\vec{k}=-120\vec{k}\,\frac{\mathrm{kV}}{\mathrm{m}}$ $\vec{E}_b=\frac{V_2-V_3}{b}\vec{k}=+30\vec{k}\,\frac{\mathrm{kV}}{\mathrm{m}}$

La energía acumulada se puede hallar sumando la de cada condensador o a partir de la capacidad equivalente

$U_\mathrm{e}=\frac{1}{2}C_\mathrm{eq}\,\Delta V^2 = \frac{1}{2}2.21\times 24^2\,\mathrm{nJ}=0.638\,\mu\mathrm{J}$

5 Tercer caso

En el último caso, la placa central no está aislada y descargada. Tampoco la diferencia de potencial ees la misma en los dos condensadores. Por tanto, éstos no están ni en serie ni en paralelo, por lo que deben ser tratados separadamente.

Tenemos que los voltajes en cada placa valen

$V_1 = -24\,\mathrm{V}\qquad\qquad V_2 = 24\,\mathrm{V}\qquad\qquad V_3 = 0\,\mathrm{V}$

La carga en cada una de las placas valen ahora

$Q_1 = C_a(V_1-V_2) = 1.77(-24-24)\,\mathrm{nC}=-8.50\,\mathrm{nC}$ $Q_3 = C_b(V_3-V_2) = 0.443(0-24)\,\mathrm{nC}=-1.06\,\mathrm{nC}$

y en la placa central

$Q_2 = C_a(V_2-V_1)+C_b(V_2-V_3)=+9.56\,\mathrm{nC}$

El campo entre las placas es ahora

$\vec{E}_a=\frac{V_1-V_2}{a}\vec{k}=-240\vec{k}\,\frac{\mathrm{kV}}{\mathrm{m}}$ $\vec{E}_b=\frac{V_2-V_3}{b}\vec{k}=+30\vec{k}\,\frac{\mathrm{kV}}{\mathrm{m}}$

y la energía almacenada

$U_\mathrm{e}=\left(\frac{1}{2}1.77(-24-24)^2 + \frac{1}{2}0.443(24-0)^2\right)\mathrm{nJ}=2.17\,\mu\mathrm{J}$

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2 Introducción

3 Primer caso

4 Segundo caso

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