Campo eléctrico de un plano y de dos planos

De Laplace

Revisión a fecha de 21:20 25 abr 2012; Antonio (Discusión | contribuciones)

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1 Enunciado

Empleando el resultado del disco, halle el campo eléctrico en cualquier punto del espacio debido a un plano infinito cargado uniformemente con una densidad de carga $σ 0$ .

Suponga que se tienen dos planos infinitos paralelos separados una distancia a que almacenan respectivamente densidades de carga $+ σ 0$ y $- σ 0$ .

Para el sistema de los dos planos, calcule la diferencia de potencial entre el plano cargado positivamente y el cargado negativamente.

2 Un solo plano

Al hallar el campo en el eje de un disco se llega a que su valor es

$\vec{E}(z) = \frac{Q\vec{k}}{2\pi \varepsilon_0 R^2}\left(\frac{z}{|z|}-\frac{z}{\sqrt{R^2+z^2}}\right)$

En términos de la densidad de carga superficial

$\sigma_0=\frac{Q}{\pi R^2}$

este campo se expresa

$\vec{E}(z) = \frac{\sigma_0\vec{k}}{2\varepsilon_0}\left(\frac{z}{|z|}-\frac{z}{\sqrt{R^2+z^2}}\right)$

Para obtener el campo debido a un plano infinito con una densidad de carga uniforme, simplemente consideramos el límite de un disco cuyo radio tiende a infinito

$\lim_{R\to\infty} \vec{E}(z) = \frac{\sigma_0\vec{k}}{2\varepsilon_0}\,\frac{z}{|z|}$

Si separamos en los dos semiespacios, teniendo en cuenta que

$\frac{z}{|z|} = \mathrm{sign}(z)=\begin{cases}+1 & z > 0\\ -1 & z < 0 \end{cases}$

queda

3 Dos planos paralelos

Este problema puede resolverse por simple superposición de los campos de los planos individuales.

Según hemos visto, el campo debido a un plano cargado uniformemente situado en $z = 0$ es

$\vec{E}=\begin{cases}\displaystyle-\frac{\sigma_0}{2\varepsilon_0}\vec{k} & (z<0)\\ & \\ \displaystyle\frac{\sigma_0}{2\varepsilon_0}\vec{k} & (z>0)\end{cases}$

Si este plano está en $z = - a / 2$ simplemente trasladamos la coordenada y ya tenemos el campo del primer plano

$\vec{E}_1=\begin{cases}\displaystyle-\frac{\sigma_0}{2\varepsilon_0}\vec{k} & (z<-a/2)\\ & \\ \displaystyle\frac{\sigma_0}{2\varepsilon_0}\vec{k} & (z>-a/2)\end{cases}$

Para el segundo plano, cambiamos $a$ por $- a$ y $σ 0$ por $- σ 0$ , lo que nos deja

$\vec{E}_2=\begin{cases}\displaystyle\frac{\sigma_0}{2\varepsilon_0}\vec{k} & (z<a/2)\\ & \\ \displaystyle-\frac{\sigma_0}{2\varepsilon_0}\vec{k} & (z>a/2)\end{cases}$

Para superponer estos campos, dividimos el espacio en tres regiones:

Por debajo del plano inferior ( $z < - a / 2$ ): En esta zona los campos son iguales y opuestos

$\vec{E} = \vec{E}_1 + \vec{E}_2 = -\frac{\sigma_0}{2\varepsilon_0}\vec{k}+\frac{\sigma_0}{2\varepsilon_0}\vec{k} = \vec{0}$

Por debajo del plano inferior ( $- a / 2 < z < a / 2$ ): En esta zona los campos son iguales y en el mismo sentido

$\vec{E} = \vec{E}_1 + \vec{E}_2 = \frac{\sigma_0}{2\varepsilon_0}\vec{k}+\frac{\sigma_0}{2\varepsilon_0}\vec{k} = \frac{\sigma_0}{\varepsilon_0}\vec{k}$

Por encima del plano superior ( $z > a / 2$ ): En esta zona, de nuevo, los campos son iguales y opuestos

$\vec{E} = \vec{E}_1 + \vec{E}_2 = \frac{\sigma_0}{2\varepsilon_0}\vec{k}-\frac{\sigma_0}{2\varepsilon_0}\vec{k} = \vec{0}$

Tenemos entonces que dos planos infinitos cargados uniformemente con cargas iguales y opuestas producen un campo uniforme entre los dos planos y nulo en el espacio exterior a los planos.

Nótese que no es que un plano impida que el campo del otro llegue al otro lado. Cada campo de cada plano se extiende hasta el infinito. Lo que ocurre es que el campo debido a las cargas de un plano anula el campo de las cargas del otro en el espacio exterior a los planos.

Campo eléctrico de un plano y de dos planos

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