Campo y potencial de una esfera con hueco

De Laplace

1 Enunciado

Se tiene una carga distribuida uniformemente en una esfera maciza de radio 10.0 cm en la que se ha horadado una cavidad esférica de radio 5.0 cm cuyo centro está a 5.0 cm de la esfera grande.

1. Demuestre que el campo en el interior de la cavidad es uniforme y halle su valor.
2. Calcule el valor del campo en el exterior de la esfera en un punto situado sobre la recta que une los dos centros, a una distancia de 25 cm del centro de la esfera grande.
3. Calcule la diferencia de potencial entre los dos puntos diametralmente opuestos de la superficie exterior situados en la recta que pasa por los dos centros.

2 Campo en el hueco

Aunque está compuesto por esferas, este problema no tiene simetría esférica, es decir, el campo eléctrico a un lado de la esfera no es el mismo que al lado opuesto (no es lo mismo estar dentro del hueco que fuera de él). Por ello, no se puede resolver aplicando directamente la ley de Gauss.

Para hallar la solución, lo más simple es aplicar el principio de superposición. La distribución de carga de la esfera hueca puede verse como una superposición de dos distribuciones:

• Una esfera maciza de radio a, con una densidad de carga + ρ₀
• Una esfera maciza de radio a / 2 descentrada respecto a la anterior y de densidad de carga − ρ₀

En los puntos en que coinciden, que son los del hueco, la carga en cada elemento de volumen es

Nótese que la superposición debe hacerse sobre densidades de carga, no sobre la carga total (ya que lo que se suma es la carga en cada punto).

3 Campo exterior

4 Diferencia de potencial