Asociación de dos máquinas térmicas

De Laplace

Revisión a fecha de 09:50 18 mar 2012; Antonio (Discusión | contribuciones)

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Contenido

1 Enunciado
2 Máquinas ideales
3 Máquinas reales

1 Enunciado

Se tiene una máquina de Carnot que opera entre 1500 K y 600 K recibiendo un flujo de calor $\dot{Q}_\mathrm{in}=960\,\mathrm{W}$ . El calor que sale de ella no se desperdicia sino que se usa para alimentar una segunda máquina de Carnot que opera entre 600 K y 300 K. Halle el rendimiento del conjunto, el calor que sale del sistema y el trabajo total que realiza en la unidad de tiempo.

Supongamos ahora que en lugar de tratarse de máquinas de Carnot se trata de máquinas reales que tienen un rendimiento del 50\% del máximo posible. ¿Cuál sería en ese caso el rendimiento de la asociación, el calor desechado y el trabajo total realizado? ¿Cuánta entropía se produce a lo largo de un ciclo de la máquina?

2 Máquinas ideales

Consideramos los tres focos térmicos con las temperaturas

$T_F = 300\,\mathrm{K}\qquad\qquad T_M = 600\,\mathrm{K}\qquad\qquad T_C = 1500\,\mathrm{K}$

Al tratarse de máquinas de Carnot ideales, la primera máquina produce un trabajo por unidad de tiempo

$\dot{W}_\mathrm{out1} = \eta_1\,\dot{Q}_\mathrm{in1} = \left(1-\frac{T_M}{T_C}\right)\dot{Q}_\mathrm{in1}$

que numéricamente tiene el valor

$\dot{W}_\mathrm{out1}= \left(1-\frac{600}{1500}\right)960\,\mathrm{W}=576\,\mathrm{W}$

El flujo de calor desechado por esta máquina es

$\dot{Q}_\mathrm{out}=\dot{Q}_\mathrm{in1}-\dot{W}_\mathrm{out1}=\frac{T_M}{T_C}\mathrm{Q}_\mathrm{in1}$

con el valor

$\dot{Q}_\mathrm{out1} = 960\,\mathrm{W}-576\,\mathrm{W}=384\,\mathrm{W}$

Este calor de desecho es el que se usa para alimentar la segunda máquina

$\dot{Q}_\mathrm{in2}=\dot{Q}_\mathrm{out1} = \frac{T_M}{T_C}\dot{Q}_\mathrm{in1} = 384\,\mathrm{W}$

La potencia desarrollada por la segunda máquina la da su rendimiento

$\dot{W}_\mathrm{out2} = \eta_2 \dot{Q}_\mathrm{in2}= \left(1-\frac{T_F}{T_M}\right)\frac{T_M}{T_C}\dot{Q}_\mathrm{in1}=\left(\frac{T_M}{T_C}-\frac{T_F}{T_C}\right)\dot{Q}_\mathrm{in1}$

con el valor numérico

$\dot{W}_\mathrm{out2}=\left(1-\frac{300}{600}\right)384\,\mathrm{W} = 192\,\mathrm{W}$

El flujo calor desechado por la segunda máquina es

$\dot{Q}_\mathrm{out2}=\dot{Q}_\mathrm{in2}-\dot{W}_\mathrm{out2}=\frac{T_F}{T_M}\dot{Q}_\mathrm{in2}=\frac{T_F}{T_M}\,\frac{T_M}{T_C}\dot{Q}_\mathrm{in1}=\frac{T_F}{T_C}\dot{Q}_\mathrm{in1}$

con valor

$\dot{Q}_\mathrm{out2}=384\,\mathrm{W}-192\,\mathrm{W}=192\,\mathrm{W}$

La potencia total desarrollada por el sistema es la suma de las dos individuales

$\dot{W}_\mathrm{out}=\dot{W}_\mathrm{out1}+\dot{W}_\mathrm{out2} = \left(1-\frac{T_M}{T_C}\right)\dot{Q}_\mathrm{in1}+ \left(\frac{T_M}{T_C}-\frac{T_F}{T_C}\right)\dot{Q}_\mathrm{in1} = \left(1-\frac{T_F}{T_C}\right)\dot{Q}_\mathrm{in1}$

Vemos que el resultado es exactamente el mismo que el que resultaría de una sola máquina de Carnot que operara entre las dos temperaturas extremas. Esto es así, porque al ser cada una de ellas reversible, el conjunto también lo es. Todas las máquinas reversibles que operan entre las mismas temperaturas tienen el mismo rendimiento por lo que el resultado debe ser el indicado.

El valor numérico de la potencia total es

$\dot{W}_\mathrm{out} = 576\,\mathrm{W}+192\,\mathrm{W}=768\,\mathrm{W}$

y el rendimiento de la asociación

$\eta = \frac{768}{960}= 1-\frac{300}{1500} = 80\%$

3 Máquinas reales

En el segundo caso tenemos máquinas con un rendimiento inferior al ideal. Nos dan el rendimiento relativo al máximo, o rendimiento de la segunda ley. Para la primera máquina

$\epsilon_1 = 0.5 = \frac{\eta_1}{\eta_1^\mathrm{rev}}=\frac{\eta_1}{1-600/1500}\qquad\Rightarrow\qquad \eta_1 = 0.30$

y para la segunda

$\epsilon_2 = 0.5 = \frac{\eta_2}{\eta_2^\mathrm{rev}}=\frac{\eta_2}{1-300/600}\qquad\Rightarrow\qquad \eta_2 = 0.25$

La potencia desarrollada por la primera máquina es ahora la mitad de la máxima

$\dot{W}_\mathrm{out1}=0.30\times 960\,\mathrm{W}=288\,\mathrm{W}$

mientras que el calor desechado por segundo aumenta

$\dot{Q}_\mathrm{out1}=\dot{Q}_\mathrm{in1}-\dot{W}_\mathrm{out1}= 960\,\mathrm{W}-288\,\mathrm{W}=672\,\mathrm{W}$

Este calor se entra como entrada para la segunda máquina, que produce una potencia

$\dot{W}_\mathrm{out2}=0.25\times 672\,\mathrm{W}=168\,\mathrm{W}$

y desecha un flujo de calor

$\dot{Q}_\mathrm{out2}=\dot{Q}_\mathrm{in2}-\dot{W}_\mathrm{out2}= 672\,\mathrm{W}-168\,\mathrm{W}=504\,\mathrm{W}$

La potencia total desarrollada vale

$\dot{W}_\mathrm{out}=\dot{W}_\mathrm{out}+\dot{W}_\mathrm{out} = 288\,\mathrm{W}+168\,\mathrm{W} = 456\,\mathrm{W}$

Siendo el rendimiento

$\eta = \frac{456}{960} = 47.5\%$

El rendimiento de la segunda especie para la asociación es

$\epsilon = \frac{0.475}{0.80}=59.4\%$

es decir, es mayor que el de cada una de las máquinas por separado. La razón es que mientras la primera máquina produce ahora la mitad de trabajo que la ideal, la segunda produce más (un 87.5%) porque le entra más calor que antes.

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