Desigualdad de Clausius (GIE)

De Laplace

1 Introducción

Al introducir el Segundo Principio de la termodinámica, se formulan varios enunciados que, aunque poseen validez general, están expresados en términos de máquina térmica. Los más importantes de estos enunciados son:

Enunciado de Kelvin-Planck

No puede construirse un dispositivo que, operando en un ciclo, tenga como único resultado la absorción de calor de un solo foco y la producción de una cantidad equivalente de trabajo.

Enunciado de Clausius

Es imposible construir un dispositivo que, operando cíclicamente, tenga como único resultado el paso de calor de un foco frío a uno caliente.

Teorema de Carnot

El rendimiento de una máquina térmica irreversible que funcione entre dos temperaturas es siempre menor que el de una máquina térmica reversible que funcione entre las mismas temperaturas.

Estos tres enunciados son bastante “concretos” en cuanto a que hablan de procesos y dispositivos fácilmente interpretables. No obstante, el segundo principio de la termodinámica puede enunciarse de formas más abstractas que, si bien requieren un mayor esfuerzo para su interpretación, ponen de manifiesto de forma más clara la validez universal de esta ley.

Uno de estos enunciados, que es el que se trata en este artículo es la

Desigualdad de Clausius

Para todo proceso cíclico

cumpliéndose la desigualdad si el proceso es irreversible, y la igualdad si es reversible.

2 El caso de dos focos térmicos

Antes de enunciar de forma completa y rigurosa la desigualdad de Clausius, conviene presentar y analizar el caso más simple y importante de un sistema en contacto con solo dos focos de temperatura.

2.1 Caso de una máquina térmica

Supongamos un dispositivo que realiza un proceso cíclico, tomando calor de un foco caliente y cediéndolo a uno frío. Esto incluye el caso trivial en que no se realice trabajo alguno y se trate de un simple flujo de calor (incluso podría hacerse trabajo sobre el sistema).

De acuerdo con el teorema de Carnot el trabajo realizado en el proceso debe ser menor o igual que el que efectuaría una máquina reversible que operara ente las mismas temperaturas, por lo que

cumpliéndose la igualdad en el caso de que el ciclo sea reversible. Aplicando que el trabajo es la diferencia entre el calor que entra y el que sale, podemos escribir este resultado como una relación entre calores

Esta relación nos dice que el calor expulsado es mayor del que expulsaría un ciclo reversible. Podemos reescribir esta ecuación en la forma

En lugar de la distinción entre calor que entra y calor que sale, podemos asignar el criterio de que todo el calor entra (siendo negativo cuando en realidad sale) y etiquetar cada uno de los dos por el foco al que corresponde. En este caso escribiríamos la identidad anterior como

Si simplemente etiquetamos los focos por 1 y 2, sin distinción de cual tiene más temperatura nos queda la relación simétrica

2.2 Caso de un refrigerador

Podemos operar de forma análoga para el caso de un refrigerador. En este caso, el teorema de Carnot nos dice que el calor que extraemos es menor del que absorberíamos con un refrigerador reversible

Expresando este resultado en términos solo de los calores

Teniendo en cuenta que en este caso el calor entra en el foco frío y sale en el caliente

y nos queda

y etiquetando de nuevo los focos sin distinción de cuál es el frío y cual el caliente

que es exactamente la misma relación que para una máquina térmica.

Si se hace el cálculo correspondiente para una bomba de calor, de nuevo se llega a la misma fórmula.

Por tanto, concluimos que para cualquier dispositivo o proceso cíclico que funcione entre solo dos focos térmicos se verifica la desigualdad

Esta sería la desigualdad de Clausius para dos focos térmicos, que más adelante generalizaremos.

2.3 Equivalencia con los otros enunciados

Si consideramos como punto de partida la desigualdad de Clausius para dos focos térmicos es sencillo llegar a otros resultados conocidos.

2.3.1 Con el enunciado de Clausius

Supongamos que tenemos calor que fluye de un foco a otro pasando por un sistema intermedio, para el cual

en este caso la desigualdad se reduce a

Si Q₁ > 0 (el calor entra desde un foco a temperatura T₁) para que se cumpla desigualdad debe ser T₂ < T₁, es decir el calor debe ir del foco caliente al frío. Si fuera al contrario resultaría un valor positivo. Por tanto de la desigualdad de Clausius se deduce el enunciado de Clausius

3 Caso de tres o más focos térmicos

4 Desigualdad de Clausius