Trabajo en un gas con resorte

De Laplace

Revisión a fecha de 17:23 28 feb 2012; Antonio (Discusión | contribuciones)

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1 Enunciado

Se tiene un cilindro de sección $S$ en el interior del cual hay un pistón que puede deslizarse sin rozamiento. El pistón cierra una cámara en la que hay aire. La cara exterior del pistón está unida al extremo del tubo mediante un resorte de constante $k$ y longitud natural $l 0$ . Esta parte del tubo está abierta a la atmósfera. Para un cierto valor de la temperatura, $T 0$ , la presión es la atmosférica, el pistón se encuentra a una distancia $h 0$ del fondo y el resorte no ejerce fuerza alguna. Cuando el gas se calienta, se expande y el resorte se comprime.

Halle el trabajo realizado sobre el gas cuando la posición del pistón pasa de $x 0 = 0$ a $x$ .
Calcule la variación de la energía interna del gas y el calor transferido al gas en el proceso.
Calcule el trabajo, la variación en la energía total y el calor, si consideramos que el sistema esta formado por el gas y el muelle.

1.1 Trabajo sobre el gas

El trabajo realizado sobre un gas se calcula mediante la integral

$W = -\int_{V_0}^{V_1}p_\mathrm{ext}\,\mathrm{d}V$

Cuando el émbolo se encuentra a una distancia $x$ de su posición inicial, el volumen ocupado por el gas es

$V = S(h_0+x)\qquad\Rightarrow\qquad \mathrm{d}V = S\,\mathrm{d}x$

El muelle se ha comprimido en esta distancia y la presión externa sobre el gas es

$p_\mathrm{ext}=p_\mathrm{atm}+ \frac{kx}{S}$

por lo que el trabajo en una expansión del gas vale

$W = -\int_{V_0}^{V_1}p_\mathrm{ext}\mathrm{d}V = -\int_{0}^{x}\left(p_\mathrm{atm}+\frac{kx}{S}\right)S\mathrm{d}x$

Integrando esta función en la que la única variable es la posición x

$W = -p_\mathrm{atm}Sx-\frac{kx^2}{2}$

Para poner este resultado en función de la temperatura aplicamos que existe una relación entre la temperatura y la posición del émbolo, que se obtiene por la ley de los gases ideales