Trabajo en una compresión por un peso

De Laplace

Revisión a fecha de 00:59 23 feb 2012; Antonio (Discusión | contribuciones)

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Contenido

1 Enunciado
2 Trabajo
- 2.1 Descenso con una pesa
- 2.2 Descenso acumulando arena

1 Enunciado

Un cilindro vertical de 10.0 cm de diámetro contiene hidrógeno a 25°C y 100 kPa de presión, que también es la temperatura y presión exterior. La tapa del cilindro puede deslizarse sin rozamiento e inicialmente se encuentra a 10.0 cm de altura. Suponga que las paredes y el émbolo son superficies diatérmicas.

Se coloca sobre la tapa una pesa de 2.0 kg. Calcule el trabajo realizado sobre el sistema desde el momento que se coloca la pesa hasta el estado de equilibrio final.
Suponga que en lugar de una pesa se colocan sobre lentamente el émbolo 2.0 kg de arena grano a grano. ¿Cuál es en ese caso el trabajo realizado sobre el sistema?

Para los dos casos anteriores, halle la variación en la energía interna del gas y el calor que entra en el sistema durante el proceso.

2 Trabajo

Este problema es una continuación de uno anterior en el que hallaba la posición de equilibrio. Esta posición se halla mediante la ecuación de estado de los gases ideales

$\frac{p_1V_1}{T_1}=\frac{p_2V_2}{T_2}$

donde, al ser isotermo el proceso $T 1 = T 2$ , el volumen es la base por la altura, $V = S h$ y la presión inicial es la atmosférica, y la final es la atmosférica más la debida al peso

$p_1 = p_\mathrm{atm}\qquad\qquad p_2=p_\mathrm{atm}+\frac{mg}{S}$

lo que da

$V_2 = \frac{p_1V_1}{p_2}\qquad\Rightarrow\qquad h_2 = \frac{p_\mathrm{atm}}{p_\mathrm{atm}+mg/S}h_1$

Este resultado es el mismo tanto si el peso se coloca de una vez como si se coloca gradualmente en forma de granos de arena.

El valor del trabajo, en cambio, es diferente en cada caso.

2.1 Descenso con una pesa

Cuando se coloca un peso unitario de 2.0\,kg la presión externa aumenta bruscamente de $p 1$ a $p 2$ y a partir de ahí permanece constante. La presión interior, en cambio, no sabemos cuanto vale, pues en el descenso brusco del pistón el gas no se encuentra en equilibrio y la presión variará de un punto a otro de la cámara. Esto no es problema, ya que el trabajo sobre el gas se calcula empleando la presión externa

$W = -\int_{V_1}^{V_2}p_\mathrm{ext}\,\mathrm{d}V$

Como la presión externa es constante, se puede sustituir y sacar de la integral

$W = -\left(p_\mathrm{atm}+\frac{mg}{S}\right)\int_{V_1}^{V_2}\mathrm{d}V = -\left(p_\mathrm{atm}+\frac{mg}{S}\right)(V_2-V_1)$

Teniendo en cuenta que el primer factor es $p 2$ , la presión final, esto se puede escribir, con ayuda de la ley de Boyle $p 1 V 1 = p 2 V 2$

$W = -p_2(V_2-V_1) = -p_2V_2+p_2V_1 = -p_1V_1+p_2V_1 = V_1(p_2-p_1) = Sh_1\frac{mg}{S}=mgh_1$

El valor numérico de este trabajo es

$W = 2.0\times 9.81\times 0.1\,\mathrm{J} = 1.962\,\mathrm{J}$

2.2 Descenso acumulando arena

En el segundo caso, la presión exterior no es constante, sino que va variando a medida que se va añadiendo arena. Una forma de resolver este apartado sería suponer que para una presión dada, se añade un grano de arena de masa $d m$ , lo que reduce el volumen una cantidad diferencial, según la fórmula del apartado anterior.

Sin embargo, es más fácil observar que si la presión se aumenta muy lentamente al gas le da tiempo a alcanzar el equilibrio térmico con el exterior, por lo que se trata de un proceso cuasiestático a temperatura constante. En este caso la presión interna del gas es igual a la exterior y el trabajo se puede hallar empleando la presión interior