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Momento de inercia de un sistema de partículas

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Se tiene un sólido formado por ocho partículas de masa m situadas en los vértices de un cubo de arista a. Halle el momento de inercia del cubo respecto a los siguientes ejes:

  1. Uno perpendicular a una cara y que pase por el centro del cubo.
  2. Uno que pase por dos vértices opuestos.
  3. Uno que pase por los centros de dos aristas opuestas.
  4. Uno que pase por una arista

2 Introducción

El momento de inercia de un sólido respecto a un eje se define como la suma, para todas las partículas del sólido,

I=\sum_i m_i R_i^2

siendo Ri la distancia del punto donde se encuentra la partícula i al eje respecto del cual se calcula el momento de inercia.

El eje se define dando un punto por el que pase, \vec{r}_0 y un vector director \vec{A} en la dirección de la recta. La distancia de un punto cualquiera al eje puede hallarse como la proyección ortogonal de la posición relativa

R_i = \frac{|(\vec{r}_i-\vec{r}_0)\times\vec{A}|}{|\vec{A}|}

3 Eje por dos caras opuestas

En el primer caso, tenemos un eje que atraviesa dos caras opuestas por su punto central. Este eje pasa también por el centro del cubo.

La distancia de las ocho masas al eje es la misma en todos los casos y vale

R = b\frac{\sqrt{2}}{2}

con lo que el momento de inercia del sólido respecto a este eje vale

I = 8m\left(b\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = 4mb^2

4 Eje por dos vértices opuestos

En el segundo caso tenemos un eje que pasa por dos vértices opuestos. Por lo pronto, la distancia de dos de las partículas al eje es nula. Siguiendo el esquema de etiquetas de la figura, sería

R_0 = R_6 = 0\,

Las otras seis masas se encuentran a la misma distancia del eje. Por la simetría del cuerpo, es claro que la distancia de las masas 1, 3 y 4, que se encuentran en posiciones análogas respecto a la masa 0, se hallan equidistantes del eje. Las masas 2, 5 y 7 no están en la misma posición relativa a la masa 0 que las anteriores, pero sí lo están respecto a la masa 6, por lo que su distancia al eje también es igual. En cualquier caso, el cálculo que sigue puede efectuarse de forma sencilla para cada una de las seis masas.

Consideremos la masa 3. Su vector de posición respecto a la masa 0 es

\vec{r}_3 = b \vec{\jmath}

Un vector director de este eje es el que uno los dos vértices por los que pasa

\vec{A}= \vec{r}_6-\vec{r}_0 = b\left(\vec{\imath}+\vec{\jmath}+\vec{k}\right)

La distancia entre la masa 3 y el eje la da la proyección ortogonal

R_3 = \frac{|\vec{r}_3\times\vec{A}|}{|\vec{A}|} = \frac{(b\vec{\jmath})\times(b\vec{\imath}+b\vec{\jmath}+b\vec{k})|}{\sqrt{b^2+b^2+b^2}} = b\frac{|\vec{\imath}-\vec{k}|}{\sqrt{3}} = b\sqrt{\frac{2}{3}}

Obsérvese que esta distancia no es igual a la mitad de la diagonal del cubo. El punto del eje a la mínima distancia de la masa no está en el centro del cubo (está a un 1/3 de la diagonal, como se ve si se halla la proyección paralela).

El momento de inercia respecto a este eje vale entonces

I = 6m\left(b\sqrt{\frac{2}{3}}\right)^2 = 4mb^2

5 Eje por dos aristas opuestas

6 Eje por una arista

Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/Momento_de_inercia_de_un_sistema_de_part%C3%ADculas"

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