Deslizamiento entre dos rodillos

De Laplace

Revisión a fecha de 22:17 10 ene 2012; Antonio (Discusión | contribuciones)

(dif) ← Revisión anterior | Revisión actual (dif) | Revisión siguiente → (dif)

Contenido

1 Enunciado
2 Introducción
3 Velocidad del sólido 0
4 Velocidad del sólido 2
5 Velocidad de deslizamiento

1 Enunciado

Un rodillo de radio $R=60\,\mathrm{cm}$ (sólido “0”) rueda sin deslizar sobre un suelo horizontal “1” de forma que su centro $C$ avanza con una celeridad constante $v_0=30\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$ respecto al suelo. En su marcha, este rodillo empuja a un segundo rodillo de radio $r=15\,\mathrm{cm}$ (sólido “2”), que se ve obligado a rodar sin deslizar sobre el mismo suelo, manteniéndose tangente al primer rodillo (ver figura).

Halle la velocidad relativa de deslizamiento en el punto A de contacto entre los dos sólidos. ¿Cuál es la rapidez de este deslizamiento?

2 Introducción

El deslizamiento entre los dos rodillos se debe a que ambos ruedan sobre el suelo, con lo que necesariamente la velocidad del punto A de un rodillo y la del punto A correspondiente del segundo será diferente, de forma que uno de los rodillos resbala sobre el otro.

La velocidad de deslizamiento será la diferencia de las velocidades respectivas

$\vec{v}^A_d = \vec{v}^A_{21}-\vec{v}^A_{01}$

donde con el subíndice $\vec{v}^A_{21}$ se indica la velocidad de un punto A del rodillo pequeño “2” respecto a “1” (el suelo). Del mismo modo con $\vec{v}^A_{01}$ se indica la velocidad del mismo punto como parte del rodillo grande “0” respecto al suelo “1”.

Calcularemos por separado estas dos velocidades y posteriormente hallaremos su diferencia. Si los cálculos son correctos debe resultarnos una velocidad tangente a la superficie de contacto.

3 Velocidad del sólido 0

Del rodillo grande conocemos la velocidad de su centro, que medida en cm/s vale

$\vec{v}^C_{01}=30\vec{\imath}$

También sabemos que rueda sin deslizar sobre el suelo, por lo que

$\vec{v}^O_{01} = \vec{0}$

También sabemos que el movimiento es plano, lo que implica que la velocidad de todos los puntos del sólido está contenida en el plano XY y que su velocidad angular va en la dirección del eje Z.

Con estos dos datos debemos determinar la velocidad del punto A. Existen varias formas de hacerlo.

Una de ellas consiste en observar que el punto O es el centro instantáneo de rotación del rodillo respecto al suelo y por tanto

$\vec{v}^A_{01} = \overbrace{\vec{v}^O_{01}}^{=\vec{0}}+\vec{\omega}_{01}\times\left(\vec{r}_A-\overbrace{\vec{r}_O}^{=\vec{0}}\right)=\vec{\omega}_{01}\times\vec{}_A$

Todavía no conocemos la velocidad con la rueda el rodillo, pero la podemos obtener de que conocemos la velocidad del punto C. La misma fórmula anterior la podemos aplicar al cálculo de la velocidad de C

$\vec{v}^C_{01}=\vec{\omega}_{01}\times\vec{r}_C$

y conocemos tanto la velocidad como la posición de C. Sustituyendo

$30\,\vec{\imath} = (\omega \vec{k})\times(60\vec{\jmath}) \qquad\rightarrow\qquad \vec{\omega} = -\frac{v_0}{R}\vec{k} = -0.50\,\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}\,\vec{k}$

Para aplicar ahora esta velocidad angular al cálculo de la velocidad de A, debemos determinar previamente la posición de A, que aun no conocemos.