Péndulo compuesto
De Laplace
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1 Enunciado
Se tiene un péndulo compuesto consistente en una barra de longitud H y masa M suspendida por un punto situado a una distancia b del centro de la barra (b < H / 2). Suponiendo que la barra se desvía un ángulo pequeño $\theta_0$ respecto de la vertical y a partir de ahí se suelta:
- Determine el periodo de oscilación de la barra
- Calcule la fuerza ejercida sobre el punto de anclaje cuando la barra pasa por la vertical en su oscilación.
2 Periodo
Determinaremos en primer lugar la ecuación de movimiento para el ángulo θ que la barra forma con la vertical.
La barra constituye un sólido rígido sometido a dos fuerzas:
- Su peso,
- La fuerza de reacción, Φ ejercida por el soporte
La suma de estas dos fuerzas produce la aceleración del centro de masas
La suma de los momentos produce la variación del momento cinético de la partícula
siendo 
la posición del soporte respecto al punto de referencia que tomemos. La fuerza de reacción es en sí misma una incógnita del problema. Podemos eliminarla de esta ecuación si elegimos como punto de referencia el propio soporte, con lo que 
.
Elegimos entonces un sistema de ejes centrado en el soporte con OX el horizontal en el plano del péndulo y OZ el vertical (OY sería perpendicular a ambos e iría hacia el interior de la figura). En este sistema, la posición del centro de masas de la barra (que está en su centro geométrico) vale
y el momento del peso
El momento cinético es el correspondiente a un eje permanente de rotación.
siendo
y el momento de inercia respecto del soporte lo podemos hallar por el teorema de Steiner
Derivando respecto al tiempo el momento cinético
Si igualamos esta derivada al momento de las fuerzas queda la ecuación de movimiento
Si el ángulo de desviación es pequeño puede aproximarse el seno por su argumento y escribirse
que es la ecuación de un oscilador armónico de frecuencia angular
a la cual corresponde un periodo
Sustituyendo el valor del momento de inercia queda
Vemos que el periodo es independiente de la masa de la barra, resultado conocido por análisis dimensional del problema.
El periodo sí depende de dónde se encuentra el soporte a lo largo de la barra.
Si se encuentra en el extremo b = L / 2 y este periodo vale
Este periodo es aproximadamente un 20% más corto que el del péndulo simple se la misma longitud y la misma masa.
Cuando el soporte se va situando cada vez más cerca del centro (
) el periodo va creciendo de forma ilimitada, tendiendo a infinito para un soporte justo en el centro. Esto ocurre porque justo en esa posición el peso no provoca par alguno sobre el péndulo y no lo hace oscilar. La parra se queda en equilibrio en cualquier orientación respecto a la vertical.
