Cuestión de álgebra vectorial, Noviembre 2011

De Laplace

Revisión a fecha de 20:22 20 nov 2011; Gabriel (Discusión | contribuciones)

(dif) ← Revisión anterior | Revisión actual (dif) | Revisión siguiente → (dif)

1 Enunciado

El rombo

O A C B

tiene sus lados de longitud unidad y su

área es igual a $\displaystyle\sqrt{3}/2$ . Su lado $O A$ se encuentra en el plano $O X Y$ de un sistema de referencia cartesiano, formando un ángulo de $π / 4$ con el eje $O X$ . El lado $O B$ forma un ángulo de $π / 4$ con el eje $O Z$ .

Calcular la longitud de la diagonal $O C$
Determinar las coordenads cartesianas del vértice $C$

2 Solución

2.1 Longitud de la diagonal

Consideremos los vectores $\vec{a}$ , $\vec{b}$ y $\vec{c}$ , de igual módulo, dirección y sentido que los respectivos segmentos orientados $\overrightarrow{OA}$ , $\overrightarrow{OB}$ y $\overrightarrow{OC}$ . Al corresponder éstos con dos lados adyacentes y la diagonal del rombo, se tendrán que

$\vec{c}=\vec{a}+\vec{b}$

La longitud de la diagonal $O C$ es el módulo de este vector,

$|\overrightarrow{OC}|=|\vec{c}|=\sqrt{\vec{c}\cdot\vec{c}}\mathrm{,}$

que podemos obtener a partir del producto escalar del vector por sí mismo:

$\vec{c}\cdot\vec{c}=(\vec{a}+\vec{b})\cdot(\vec{a}+\vec{b})=\vec{a}\cdot\vec{a}+2\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{b}\cdot\vec{b}$

Como los lados $O A$ y $O B$ tienen longitud unidad, sus correspondientes vectores tienen módulo 1. Se tendrán entonces,

$\vec{c}\cdot\vec{c}=|\vec{a}|^2+2|\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta+|\vec{b}|^2=2+2\cos\theta\mathrm{,}$

siendo $θ$ el ángulo que forman los segmentos $\overrightarrow{OA}$ y $\overrightarrow{OB}$ . Y para determinar el valor de dicho ángulo, utilizamos el dato del área del rombo que, al ser esta figura un paralelogramo, será igual al módulo del producto vectorial de los vectores que se corresponden con dos lados adyacentes; es decir,

$S_{OACB}=|\vec{a}\times\vec{b}|=|\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Aplicando de nuevo que los lados del rombo tienen longitud unidad y que, por tanto, los vectores $\vec{a}$ y $\vec{b}$ tienen módulo uno, se obtiene...