1.11. Vectores con tres condiciones (Ex.Nov/11)

De Laplace

Revisión a fecha de 23:15 9 nov 2011; Enrique (Discusión | contribuciones)

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1 Enunciado

Determine todos los vectores libres que cumplen las tres siguientes condiciones:

1) Tener una longitud de $14$ m.

2) Ser ortogonal al vector $(3\,\vec{\imath}+\vec{k}\,)\,$ m.

3) Formar junto a los vectores $\,\vec{\imath}\,\,$ m y $\,\vec{k}\,$ m un paralelepípedo de volumen igual a $6$ m $3$ .

2 Solución

Exigiremos a un vector genérico $\vec{a}=a_x\,\vec{\imath}+a_y\,\vec{\jmath}+a_z\,\vec{k}\,$ las tres condiciones dadas. Por comodidad, prescindiremos de las unidades hasta llegar a la solución final (son todas unidades del SI).

La longitud de un vector es su módulo. Así que el cuadrado del módulo de $\vec{a}$ debe ser:

$a_x^2+a_y^2+a_z^2=(14)^2=196\,\,\,\,\,\,\,\, (1)$

La condición de ortogonalidad entre dos vectores viene dada por la nulidad de su producto escalar:

$(a_x\,\vec{\imath}+a_y\,\vec{\jmath}+a_z\,\vec{k})\cdot(3\,\vec{\imath}+\vec{k})=3\,a_x+a_z=0\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\, a_z=-3\,a_x\,\,\,\,\,\,\,\, (2)$

El volumen del paralelepípedo que tiene a tres vectores por aristas es igual al valor absoluto de su producto mixto:

$\left|(a_x\,\vec{\imath}+a_y\,\vec{\jmath}+a_z\,\vec{k})\cdot(\vec{\imath}\wedge\vec{k})\right|=|a_y|=6\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\, a_y=\pm\, 6\,\,\,\,\,\,\,\, (3)$

Sustituyendo (2) y (3) en (1), se obtiene:

$a_x^2+36+9\,a_x^2=196\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,10\,a_x^2=160\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,a_x^2=16\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,a_x=\pm\, 4$

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