Triángulo en movimiento helicoidal
De Laplace
Contenido |
1 Enunciado
El triángulo de vértices A, B y C, constituye un sólido rígido en movimiento respecto del sistema de referencia fijo OXYZ. De dicho movimiento se conocen los siguientes datos:
- Los vértices A y B permanecen en todo instante sobre el eje OZ, desplazándose ambos con igual velocidad instantánea:
.
- El vértice C se mueve describiendo la hélice Γ, que en el sistema OXYZ está descrita por las ecuaciones paramétricas siguientes (donde A y b son constantes conocidas):
![\vec{r}(\theta)= A\cos\theta\vec{\imath}+A\,\mathrm{sen}\,\theta\vec{\jmath}+ \frac{b}{2\pi}\theta\vec{k}](/wiki/images/math/2/b/a/2ba0acf47819a8ce65af3cecfb5e5f08.png)
- Indique de forma razonada cuál es el eje instantáneo de rotación y mínimo deslizamiento en el movimiento descrito. Determine el vector velocidad angular en términos de los datos expresados en el enunciado.
- Exprese, en función de los datos del enunciado, la componente normal de la aceleración del vértice C en un instante cualquiera.
- Para el caso en que
(cte), y
, calcule la aceleración del vértice C. Determine la ley horaria s = s(t) con que el punto C describe su trayectoria.
2 EIRMD
El eje instantáneo de rotación y mínimo deslizamiento se caracteriza porque en cada uno de sus puntos
![\vec{v}^I \parallel \vec{\omega}](/wiki/images/math/d/c/0/dc096b0cc460bc17c6cc1dbd92aef3a8.png)
Por otro lado, tenemos que, dados dos puntos cualesquiera del sólido
![\vec{v}^B = \vec{v}^A + \vec{\omega}\times\overrightarrow{AB}](/wiki/images/math/3/3/d/33dd08785f1fa0416db79c5468a11225.png)
En este caso en concreto tenemos que las velocidades de A y B son iguales por lo que
![\vec{v}^A = \vec{v}^B \qquad\Rightarrow\qquad \vec{\omega}\times\overrightarrow{AB}=\vec{0}](/wiki/images/math/a/6/3/a6355d6b7955277aa56650416701ea54.png)
Esto quiere decir que es paralelo a
y por tanto
![\vec{\omega}=\omega\vec{k}](/wiki/images/math/3/f/a/3fabd830027f06f01628f458a0282c79.png)
Pero esta misma dirección es la de las velocidades de A y B
![\vec{v}^A = \vec{v}^B = v(t)\vec{k}\parallel \vec{\omega}=\omega \vec{k}](/wiki/images/math/1/3/0/13088d563e994b74675350bba806940f.png)
Por tanto el EIRMD no es otro que el el eje que pasa por A y B: el eje Z.
La velocidad de deslizamiento, común a todos los puntos del sólido, será igual a la componente vertical de la velocidad de A o B
![v_d = v^A=v(t)\,](/wiki/images/math/8/8/2/88205d30420707a810d025a396e99c9b.png)
Para determinar el vector velocidad angular del sólido, tendremos en cuenta que
![\vec{v}^C=\vec{v}^O + \vec{\omega}\times\overrightarrow{OC}=v(t)\vec{k} + \omega\vec{k}\times\left(A\cos\theta\vec{\imath}+A\,\mathrm{sen}\,\theta\vec{\jmath}+ \frac{b}{2\pi}\theta\vec{k}\right)=-\omega A\,\mathrm{sen}\,\theta\vec{\imath}+\omega A\cos\theta\vec{\jmath}+v(t)\vec{k}](/wiki/images/math/1/0/c/10c6e50c5f7a07b96badf37ff337df51.png)
pero también
![\vec{v}^C=\frac{\mathrm{d}\vec{r}^C}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}\vec{r}^C}{\mathrm{d}\theta}\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}=
\left(-A\,\mathrm{sen}\,\theta\vec{\imath}+A\cos\theta\vec{\jmath}+\frac{b}{2\pi}\vec{k}\right)\dot{\theta}](/wiki/images/math/1/0/7/107e9379267234d59371798a1216ce55.png)
e igualando componentes en ambas expresiones, se llega a
![\vec{\omega}=\omega\vec{k}=\dot{\theta}\vec{k}=\frac{2\pi v(t)}{b}\vec{k}](/wiki/images/math/7/7/3/77381b2dc6580d0ab29fc8f1b4166083.png)
3 Aceleración normal
La aceleración normal de C es igual a
![\vec{a}^C_n = \frac{(v^C)^2}{R_\kappa}\vec{N}](/wiki/images/math/3/c/f/3cf5382eb69c32b111c53fdd6e129b73.png)
siendo Rκ el radio de curvatura de la trayectoria.
La celeridad de una partícula en un movimiento helicoidal de un sólido es
![v^C = \sqrt{v_d^2 + \omega^2d^2}](/wiki/images/math/1/e/6/1e6b5af085d263b1163e42f506721cd0.png)
siendo d la distancia de la partícula al eje. Esta distancia es igual a A en este caso. Sustituyendo los valores de la velocidad de deslizamiento y la velocidad angular, obtenemos la rapidez
![v^C = \sqrt{v^2+ \left(\frac{2\pi v}{b}\right)^2A^2} = \frac{v}{b}\sqrt{(2\pi A)^2 + b^2}](/wiki/images/math/8/4/2/84288722fa4575050421f8c228d68936.png)
El radio de curvatura de una hélice no es igual a A, el radio del cilindro sobre el que se encuentra, sino que es igual a
![R_\kappa= A + \frac{b^2}{4\pi^2A}=\frac{(2\pi A)^2+b^2}{(2\pi)^2A}](/wiki/images/math/f/b/d/fbdcf35f128c7fc9ef054384a862997a.png)
Reuniendo ambos resultados obtenemos el módulo de la aceleración normal de C
![a^C_n = \frac{((2\pi A)^2 + b^2)(2\pi)^2 Av^2}{b^2((2\pi A)^2 + b^2)}=\frac{(2\pi)^2 A v^2}{b^2}](/wiki/images/math/4/f/4/4f445813efbdb781a21726e11c4d65f1.png)
Si deseamos esta aceleración normal en forma vectorial, debemos multiplicar por el vector normal a la trayectoria que, para una hélice, es
![\vec{N}=-\cos\theta\vec{\imath}-\,\mathrm{sen}\,\theta\vec{\jmath}](/wiki/images/math/5/d/e/5deb1360ec97ad604406ede0e41ad7b8.png)
por lo que la aceleración normal es
![\vec{a}^C_n = -\frac{(2\pi)^2v^2A}{b^2}\left(\cos\theta\vec{\imath}+\,\mathrm{sen}\,\theta\vec{\jmath}\right)](/wiki/images/math/a/d/7/ad7e14128fd456624b873d2f1a19f829.png)
4 Aceleración y ley horaria
4.1 Aceleración
Si v(t) = v0 la celeridad del punto C es
![v^C = \frac{\sqrt{(2\pi A)^2+b^2}}{b}\, v_0=\mathrm{cte}](/wiki/images/math/8/b/2/8b2cbb3767884e821d159a42efb298ad.png)
y teniendo en cuenta que
![v^C = \sqrt{5}\, v_0=\mathrm{cte}](/wiki/images/math/8/c/8/8c8a7a03ca8324469c835e0998115c05.png)
Si la celeridad es constante, el movimiento de C es uniforme y su aceleración tangencial nula
![\vec{a}^C_t = \frac{\mathrm{d}v^C}{\mathrm{d}t}\vec{T}=\vec{0}](/wiki/images/math/f/a/4/fa417d1a0fe613889709bf550a17d745.png)
y por tanto toda la aceleración es normal, siendo su valor el que ya conocemos
![\vec{a}^C = \vec{a}^C_n = -\frac{4\pi^2v_0^2A}{b^2}\left(\cos\theta\vec{\imath}+\,\mathrm{sen}\,\theta\vec{\jmath}\right)](/wiki/images/math/e/3/a/e3a4a6a79e37cf34f338249cb317bf26.png)
y sustituyendo
![\vec{a}^C = \vec{a}^C_n = -\frac{4v_0^2}{A}\left(\cos\theta\vec{\imath}+\,\mathrm{sen}\,\theta\vec{\jmath}\right)](/wiki/images/math/2/1/4/214ca4e2370e55d5f61cf1bf42957eb8.png)
4.2 Ley horaria
La ley horaria es inmediata, puesto que la celeridad es constante
![\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}=v^C = \sqrt{5}\,v_0](/wiki/images/math/9/2/a/92a04d51a368d732ef34d32db07ab8e9.png)
![\Rightarrow](/wiki/images/math/d/f/0/df09aea884019cb88a2957126faba316.png)
![s=s_0+ \sqrt{5}\,v_0 t](/wiki/images/math/d/0/7/d07315519ea56e7d27264fe2505aecaf.png)
También podemos dar como ley horaria la variación del parámetro θ con el tiempo. Utilizando la relación entre y v(t) que se obtuvo al determinar la velocidad angular, se tiene
![\dot{\theta}=\frac{2\pi v_0}{b}=\frac{2v_0}{A}\qquad\Rightarrow\qquad \theta=\theta_0+2\frac{v_0 t}{A}](/wiki/images/math/a/9/0/a90f2803f127858797ed37877495f8ff.png)
cumpliéndose la relación
![s = \frac{\sqrt{5}\, A}{2}\,\theta](/wiki/images/math/8/6/6/86663ce189afe356fd69e4ed7f745b9e.png)