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3.8. Movimiento bajo fuerza central en polares

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Sea una partícula P de masa m cuyo movimiento en el plano OXY se describe mediante coordenadas polares.

  1. Deduzca la expresión de su velocidad areolar respecto al origen de coordenadas O, y compruebe que la misma es constante en el tiempo si y sólo si el movimiento transcurre bajo la acción de una fuerza central en O.
  2. Sabiendo que la partícula recorre la espiral \rho=\rho_{0}e^{\theta}\, sometida a una fuerza central en O y con condiciones iniciales \theta(0)=0\, y \dot{\theta}(0)=\omega_0, determine las ecuaciones horarias \rho = \rho(t)\, y \theta = \theta(t)\,, así como el valor de dicha fuerza en función de la coordenada radial \vec{F} = \vec{F}(\rho).

2 Expresión general de la velocidad areolar

Sustituyendo las expresiones generales (en coordenadas polares) de los vectores de posición y velocidad de una partícula

\begin{array}{rcl} \vec{r} & = & \rho\,\vec{u}_{\rho} \\ \vec{v} & = & \dot{\rho}\,\vec{u}_{\rho}+\rho\,\dot{\theta}\,\vec{u}_{\theta}\end{array}

en la definición de la velocidad areolar de la partícula respecto al origen de coordenadas O\,, se obtiene

\vec{V}_A=\frac{1}{2}\,\vec{r}\times\vec{v}=\frac{1}{2}\,\rho\,\vec{u}_{\rho}\times(\dot{\rho}\,\vec{u}_{\rho}+\rho\,\dot{\theta}\,\vec{u}_{\theta})=\frac{1}{2}\,\rho^2\dot{\theta}\,\vec{k}

3 Conservación de la velocidad areolar

Teniendo en cuenta que la dirección del vector velocidad areolar es constante (dirección perpendicular al plano del movimiento), es evidente que la citada magnitud vectorial se conservará constante en el tiempo si y sólo si es constante la velocidad areolar escalar VA

\vec{V}_A=V_A\,\vec{k}=\frac{1}{2}\,\rho^2\dot{\theta}\,\vec{k}=\mathrm{cte}\,\,\,\,\,\,\Longleftrightarrow\,\,\,\,\,\,V_A=\frac{1}{2}\,\rho^2\dot{\theta}=\mathrm{cte}

Ahora bien, derivando respecto al tiempo VA se obtiene

\frac{\mathrm{d}V_A}{\mathrm{d}t}=\frac{1}{2}\,\frac{\mathrm{d}\rho^2\dot{\theta}}{\mathrm{d}t}=\frac{1}{2}\,(2\rho\dot{\rho}\dot{theta}+\rho^2\ddot{\theta})=\frac{\rho}{2}\,(2\dot{\rho}\dot{theta}+\rho\ddot{\theta})=\frac{\rho}{2}\,a_{\theta}

4 Ecuaciones horarias

5 Fuerza en función de la coordenada radial

Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/3.8._Movimiento_bajo_fuerza_central_en_polares"

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