3.12. Equilibrio de partícula en hélice

De Laplace

Revisión a fecha de 13:19 26 oct 2011; Enrique (Discusión | contribuciones)

(dif) ← Revisión anterior | Revisión actual (dif) | Revisión siguiente → (dif)

Contenido

1 Enunciado
2 Equilibrio
3 Fuerza de reacción vincular
4 Energía potencial y estabilidad del equilibrio

1 Enunciado

Una partícula de masa $m$ se encuentra sometida simultáneamente a su peso y a la fuerza atractiva de un resorte elástico de constante $k$ y longitud natural nula anclado en el origen de coordenadas. La partícula está ensartada en la hélice de ecuaciones $x = A\,\mathrm{cos}(\theta)$ , $y = A\,\mathrm{sen}(\theta)$ , $z = b\,\theta/(2\pi)$ .

Determine la posición de equilibrio de la partícula sobre la hélice.
Calcule la fuerza de reacción vincular que ejerce la hélice sobre la partícula en la posición de equilibrio.
Determine la energía potencial como función del parámetro $\theta\,$ y discuta la estabilidad de la posición de equilibrio.

2 Equilibrio

La partícula se encuentra sometida a tres fuerzas: el peso, la fuerza elástica del muelle y la fuerza de reacción vincular. En el equilibrio, la resultante debe ser nula

$m\vec{g}-k\vec{r}+\vec{\Phi}=\vec{0}$

Expresando las tres fuerzas en la base cartesiana ortonormal, se tiene

$\begin{array}{rcl} m\vec{g} & = & -mg\vec{k} \\ -k\vec{r} & = & -kx\,\vec{\imath}-ky\,\vec{\jmath}-kz\,\vec{k} = -kA\,\mathrm{cos}(\theta)\,\vec{\imath}-kA\,\mathrm{sen}(\theta)\,\vec{\jmath}-kb\,\theta/(2\pi)\,\vec{k} \\ \vec{\Phi} & = & \Phi_x\,\vec{\imath}+\Phi_y\,\vec{\jmath}+\Phi_z\,\vec{k} \end{array}$

donde se ha tenido en cuenta la ecuación del vínculo (hélice), que define las únicas posiciones posibles de la partícula

$\vec{r} = A\,\mathrm{cos}(\theta)\,\vec{\imath}+A\,\mathrm{sen}(\theta)\,\vec{\jmath}+\frac{b\theta}{2\pi}\,\vec{k}$

Por otra parte, la fuerza de reacción vincular tiene necesariamente dirección perpendicular a la hélice (pues no se menciona que exista rozamiento, es decir, se sobreentiende que la hélice es un vínculo liso). Un vector tangente a la hélice es