Cálculo numérico de la derivada del seno

De Laplace

Revisión a fecha de 22:06 5 oct 2011; Antonio (Discusión | contribuciones)

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Contenido

1 Enunciado
2 Cociente incremental
3 Aproximación numérica
4 Interpretación del resultado

1 Enunciado

Se trata de calcular la derivada de $f(x)=\,\mathrm{sen}(x^\circ)$ para $x^\circ=0^\circ$ .

Exprese el cociente $Δ f / Δ x$ , cuando $x_1^\circ=0^\circ$ y $x_2^\circ=x^\circ$ .
Calcule numéricamente el cociente anterior para $x^\circ=1^\circ$ , $x^\circ=0.1^\circ$ , $x^\circ=0.01^\circ$ ,… hasta $x^\circ=(10^{-6})^\circ$ . ¿A cuanto tiende el límite?
Multiplique los resultados anteriores por 180. A la vista de los resultados, ¿cuanto vale la derivada de $\mathrm{sen}(x^\circ)$ en $x=0^\circ$ ?

2 Cociente incremental

La derivada de una función equivale al límite del cociente entre incrementos cuando estos tienden a cero

$\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x} = \lim_{\Delta x\to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x}$

En nuestro caso, consideramos un incremento entre $x^\circ = 0^\circ$ y un cierto valor del ángulo

$\Delta x^\circ = x^\circ - 0^\circ = x^\circ$

mientras que el incremento en la función es

$\Delta(\mathrm{sen}(x^\circ))=\mathrm{sen}(x^\circ)-\overbrace{\mathrm{sen}(0^\circ)}^{=0}= \mathrm{sen}(x^\circ)$

Por tanto, el cociente entre incrementos se reduce a

$\frac{\Delta f}{\Delta x}=\frac{\mathrm{sen}(x^\circ)}{x^\circ}$

3 Aproximación numérica

Calculamos entonces los valores del cociente incremental para valores cada vez más pequeños del argumento

$x^\circ$	$\mathrm{sen}(x^\circ)$	$\mathrm{sen}(x^\circ)/x^\circ$
1	0.017452406437283512819	0.017452406437283512819
0.1	0.001745328365898308836	0.017453283658983088358
0.01	0.001745329243133368033	0.017453292431333680334
0.001	0.000174532925190571996	0.017453292519057199614
0.0001	0.000017453292519934435	0.017453292519934434808
0.00001	0.000001745329251994321	0.017453292519943207160
0.000001	0.000000174532925199433	0.017453292519943294883

Vemos que efectivamente el cociente converge, pero desde luego no a 1, que es lo que cabría esperar (si la derivada del seno es el coseno, al hacer $x = 0$ , nos debería salir 1).

4 Interpretación del resultado

Para interpretar el resultado, seguimos la sugerencia del enunciado y multiplicamos el resultado por 180, a ver qué sale

$x^\circ$	$\mathrm{sen}(x^\circ)$	$\mathrm{sen}(x^\circ)/x^\circ$	$180 \mathrm{sen}(x^\circ)/x^\circ$
1	0.017452406437283512819	0.017452406437283512819	3.1414331587110323075
0.1	0.001745328365898308836	0.017453283658983088358	3.1415910586169559044
0.01	0.001745329243133368033	0.017453292431333680334	3.1415926376400624601
0.001	0.000174532925190571996	0.017453292519057199614	3.1415926534302959304
0.0001	0.000017453292519934435	0.017453292519934434808	3.1415926535881982654
0.00001	0.000001745329251994321	0.017453292519943207160	3.1415926535897772887
0.000001	0.000000174532925199433	0.017453292519943294883	3.1415926535897930790
···	···	···	···
0	0	π/180	π

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