Cálculo numérico de la derivada del seno

Revisión a fecha de 21:56 5 oct 2011; Antonio (Discusión | contribuciones)

1 Enunciado

Se trata de calcular la derivada de $f(x)=\,\mathrm{sen}(x^\circ)$ para $x^\circ=0^\circ$ .

Exprese el cociente $Δ f / Δ x$ , cuando $x_1^\circ=0^\circ$ y $x_2^\circ=x^\circ$ .
Calcule numéricamente el cociente anterior para $x^\circ=1^\circ$ , $x^\circ=0.1^\circ$ , $x^\circ=0.01^\circ$ ,… hasta $x^\circ=(10^{-6})^\circ$ . ¿A cuanto tiende el límite?
Multiplique los resultados anteriores por 180. A la vista de los resultados, ¿cuanto vale la derivada de $\mathrm{sen}(x^\circ)$ en $x=0^\circ$ ?

La derivada de una función equivale al límite del cociente entre incrementos cuando estos tienden a cero

$\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x} = \lim_{\Delta x\to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x}$

En nuestro caso, consideramos un incremento entre $x^\circ = 0^\circ$ y un cierto valor del ángulo

$\Delta x^\circ = x^\circ - 0^\circ = x^\circ$

mientras que el incremento en la función es

$\Delta(\mathrm{sen}(x^\circ))=\mathrm{sen}(x^\circ)-\overbrace{\mathrm{sen}(0^\circ)}^{=0}= \mathrm{sen}(x^\circ)$

Por tanto, el cociente entre incrementos se reduce a

$\frac{\Delta f}{\Delta x}=\frac{\mathrm{sen}(x^\circ)}{x^\circ}$

Calculamos entonces los valores del cociente incremental para valores cada vez más pequeños del argumento