Sistema de dos bloques conductores

De Laplace

Revisión a fecha de 15:27 3 sep 2011; Antonio (Discusión | contribuciones)

(dif) ← Revisión anterior | Revisión actual (dif) | Revisión siguiente → (dif)

Contenido

1 Enunciado
2 Coeficientes de capacidad
3 Estado de equilibrio inicial
4 Estado de equilibrio final
5 Transitorio

1 Enunciado

Se tiene un sistema de conductores formado por dos prismas (“1” y “2”), de dimensiones 50 mm×50 mm×25 mm, separados una distancia de 1 mm. Envolviendo a estos dos volúmenes se encuentra una caja cúbica, separada de los bloques por un espacio de 1 mm. Esta caja se encuentra permanentemente a tierra y sirve de eferencia de potencial. Entre los bloques y la caja exterior hay un dieléctrico ideal de permitividad 30 pF/m.

Determine los coeficientes de capacidad e inducción, $C i k$ , del sistema de dos bloques. Desprecie los efectos de borde.
Suponga que en un momento dado los dos conductores están aislados. El “1” almacena una carga 18 nC, mientras que el otro está descargado. Halle el potencial de cada bloque en esta situación, así como la carga en la caja exterior. Calcule la energía almacenada en el sistema.
Suponga que, en la situación anterior, se conecta el bloque descargado a la caja exterior mediante un cable de resistencia 10 Ω. Halle las cargas y potenciales de los bloques y la caja exterior una vez alcanzado de nuevo el equilibrio electrostático. Calcule la energía final del sistema.
Halle la corriente que circula por el cable de conexión como función del tiempo, así como la energía disipada por efecto Joule. ¿Cuánto tiempo tarda aproximadamente en alcanzarse el nuevo equilibrio electrostático?

2 Coeficientes de capacidad

La forma más sencilla de calcular los coeficientes de capacidad e inducción es mediante el circuito equivalente.

El circuito equivalente está formado por dos nodos y tres condensadores. Los nodos representan a los dos bloques. Los condensadores son uno de capacidad $\overline{C}_{12}$ entre ambos nodos y que representa las líneas de campo que van de un bloque a otro, y dos condensadores $\overline{C}_{11}$ y $\overline{C}_{22}$ , que representan las líneas de campo que conectan cada bloque con la caja exterior.

Para hallar los valores de las capacidades, despreciamos los efectos de borde, por lo que se pueden tratar como una asociación de condensadores planos. Si tomamos como unidad un condensador cuya superficie sea un rectángulo de 25 mm×50 mm y distancia entre placas 1 mm, con capacidad

$C_0 = \frac{\varepsilon S}{a} = \frac{(30\,\mathrm{pF}/\mathrm{m})(25\times 10^{-3}\mathrm{m})(25\times 10^{-3}\mathrm{m})}{10^{-3}\mathrm{m}}=37.5\,\mathrm{pF}$

Entonces, el condensador que forman los dos bloques tiene el doble de esta área y por tanto el doble de capacidad

$\overline{C}_{12}=2C_0 = 75\,\mathrm{pF}$

Los que forma cada bloque con la caja exterior equivale a 6 veces el condensador unidad (2 veces en la cara cuadrada y las 4 caras laterales)

$\overline{C}_{11}=\overline{C}_{22}=6C_0 = 225\,\mathrm{pF}$

Una vez que tenemos las capacidades es inmediato hallar los coeficientes de capacidad

$C_{12}=C_{21}=-\overline{C}_{12}=-75\,\mathrm{pF}$ $C_{11}=\overline{C}_{11}+\overline{C}_{12} = 300\,\mathrm{pF}$ $C_{22}=C_{11}=300\,\mathrm{pF}$

o, en forma matricial

$\mathsf{C}=\begin{pmatrix} 300 & -75 \\ -75 & 300\end{pmatrix}\,\mathrm{pF}$

3 Estado de equilibrio inicial

En el estado inicial conocemos la carga de los dos conductores

$Q_1 = 18\,\mathrm{nC}\qquad Q_2 = 0\,\mathrm{nC}$

y se trata de hallar las respectivas tensiones. Si expresamos la carga en picoculombios, el voltaje en voltios y la capacidad en picofaradios, nos queda el sistema

$\begin{array}{rcrcr} 18000 & = & 300V_1 & - & 75V_2\\ 0 & = & -75V_1 & + & 300V_2 \end{array}$

Despejando en la segunda y sustituyendo en la primera

$V_1 = 4V_2\qquad\Rightarrow\qquad 18000 = (4\cdot 300-75)V_2 = 1125V_2$

y de aquí

$V_2 = 16\,\mathrm{V}\qquad V_1 = 64\,\mathrm{V}$

La energía almacenada en el sistema es igual a

$U_\mathrm{e} = \frac{1}{2}Q_1V_1+\frac{1}{2}\overbrace{Q_2}^{=0}V_2 = \frac{1}{2}(18\,\mathrm{nC})(64\,\mathrm{V}) = 576\,\mathrm{nJ}$

La carga almacenada en las paredes de la caja exterior, por el teorema de Faraday, es igual a la carga contenida en su interior, cambiada de signo

$Q_0 = -Q_1 -Q_2 = -18\,\mathrm{nC}$

4 Estado de equilibrio final

Tras cerrar el interruptor, el conductor 2 se conecta a tierra a través de una resistencia. Circula una corriente debido a la diferencia de potencial, que desaparece cuando se igualan los potenciales de los extremos. Puesto que la caja permanece a tierra el estado final se caracteriza porque

$V_2 = 0\,\mathrm{V}$

El conductor 2 deja de estar descargado, ya que como consecuencia de la corriente, se ha almacenado una cierta carga en él. El conductor 1, que sigue aislado, mantiene la misma carga que antes

$Q_1 = 18\,\mathrm{nC}$

Llevando esto al sistema de ecuaciones anterior nos queda

$\begin{array}{rcrcr} 18000 & = & 300V_1 & - & 75\cdot 0\\ Q_2 & = & -75V_1 & + & 300\cdot 0 \end{array}$

cuya solución es inmediata

$V_1 = 60\,\mathrm{V}\qquad Q_2 = -4.5\,\mathrm{nC}$

Desde el punto de vista del circuito equivalente, lo que hemos hecho es cortocircuitar el condensador $\overline{C}_{22}$ , apareciendo una carga en el condensador $\overline{C}_{12}$ , esto es, que la carga $Q 2$ se almacena en la cara enfrentada al otro bloque.

La nueva energía vale