Derivación e integración en física (GIE)
De Laplace
Contenido |
1 Introducción
El objeto de este tema no una exposición de las técnicas de derivación e integración, que se suponen conocidas. Se trata aquí de dar una interpretación intuitiva del significado de estas operaciones en física, a fin de facilitar tanto la compresión de las fórmulas como de saber cuándo y dónde deben utilizarse.
Lo que sigue no pretende en absoluto ser riguroso, es más, en muchos aspectos se aleja del rigor matemático, si con ello se consigue una mejor visualización del significado.
2 Diferenciales
La idea de diferencial es simple:
- Un diferencial de una magnitud, dA, es una cantidad muy pequeña de dicha magnitud
Por ejemplo, si estamos considerando el movimiento rectilíneo de una partícula, nos puede interesar el desplazamiento neto, Δx durante un periodo finito Δt. Pero si el movimiento es irregular, nos puede interesar un análisis más detallado del movimiento. En ese caso consideraríamos intervalos de tiempo muy cortos, en los cuales se realizan desplazamientos minúsculos. A esos intervalos, que serían instantes, los denotamos por dt y a los desplazamientos pequeños por dx y los llamamos diferenciales.
La pregunta que surge de manera inmediata es ¿cómo de pequeño? ¿pequeño comparado con qué? Una magnitud no es grande o pequeña en sentido absoluto; lo es siempre relativamente a alguna referencia.
A la hora de considerar una cantidad como diferencial, lo hacemos siempre comparándola con los valores típicos de las magnitudes que aparecen en el sistema que se está estudiando. Como criterio, podemos considerar que si es más de tres órdenes de magnitud más pequeño (menos de una milésima, preferible aun menor) se puede aproximar como diferencial. Por ejemplo, una distancia 
, ¿puede considerarse como diferencial? En un problema en el que estudiamos el movimiento de una pelota de ping-pong obviamente no. Pero, si lo que estamos estudiando es el movimiento de la Tierra alrededor del Sol, sí que se puede, muy justificadamente, considerar como diferencial.
Un diferencial no tiene por qué referirse al incremento de una variable.
En los casos dt y dx sí puede considerarse como incrementos muy pequeños en las variables t y x.
Supongamos ahora, que nos piden describir la temperatura de una habitación. Puesto que esta temperatura no será homogénea en general, no tiene mucho sentido hablar de la temperatura del conjunto. Es más lógico dividir la habitación en trozos lo suficientemente pequeños como para que cada uno tenga una temperatura concreta. Construimos así elementos de volumen dV, que serían diferenciales, y a los cuales les podemos asignar una temperatura. Estos diferenciales de volumen no corresponden al incremento de ninguna variable. Se trata simplemente de cantidades muy pequeñas de una magnitud. Si nos imaginamos cada elemento de volumen como un pequeño cubito, su volumen sería largo por ancho por alto
es decir, es el producto de tres diferenciales de variables diferentes.
También se pueden definir diferenciales de magnitudes vectoriales. Un desplazamiento en el espacio viene dado por el incremento del vector de posición
Si consideramos un desplazamiento muy pequeño comparado con el tamaño del sistema obtenemos un diferencial de camino
que, de nuevo, es una combinación de los incrementos infinitesimales de tres variables diferentes.
El tamaño de los diferenciales reales, en física, no puede hacerse infinitamente pequeño como en matemáticas. Imaginemos que estudiamos la distribución de temperatura en un baño de agua. Dividimos el agua el elementos de volumen de masa dm. Si consideramos los elementos de volumen tendiendo a ser infinitamente pequeños, llega un momento en que dejan de ser volúmenes de agua, pasando a ser protones, electrones o espacio vacío, para los cuales la temperatura o el propio concepto de agua deja de tener sentido. Por ello, hemos de considerar que un diferencial es una cantidad mucho más pequeña que los valores que aparecen en el problema, pero no tan pequeña que dejen de tener significado.
Cuando tenemos una función de una o varias variables 
y las variables cambian en una cantidad diferencial, el valor de la función f también cambia de manera diferencial
Así obtenemos la regla de que la diferencial de una suma es la suma de diferenciales
f = u +v \quad\Rightarrow\quad \mathrm{d}f = ((u+\mathrm{d}u) +(v+\mathrm{d}v))-(u+v) = \mathrm{d}u+\mathrm{d}v</math>
