Campo de un tubo cilíndrico

De Laplace

Revisión a fecha de 18:00 30 may 2011; Antonio (Discusión | contribuciones)

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Contenido

1 Enunciado
2 Introducción
3 En forma integral
4 En forma diferencial

1 Enunciado

Sobre un cilindro de radio $a$ y longitud infinita fluye una corriente superficial de densidad uniforme $\mathbf{K}$ . Halle el campo magnético en todos los puntos del espacio.

2 Introducción

Aunque el enunciado no dice explícitamente hacia dónde se dirige la corriente, si esta es uniforme, no puede ser otra que

$\mathbf{K}=K\mathbf{u}_{z}\,$

Si supusiéramos, por ejemplo, una corriente $\mathbf{K}=K\mathbf{u}_{\varphi}$ no sería uniforme, pues $\mathbf{u}_{\varphi}$ depende de la posición.

El problema puede resolverse empleando las ecuaciones de la magnetostática en forma diferencial y en forma integral.

3 En forma integral

4 En forma diferencial

Tenemos que, como en el caso del cable grueso, existe simetría traslacional y rotacional. Por ello, ninguna de las tres componentes depende de $z$ ni de $\varphi$ .

$\mathbf{B}_i = B_\rho(\rho)\mathbf{u}_\rho+B_\varphi(\rho)\mathbf{u}_\varphi+B_z(\rho)\mathbf{u}_z\qquad i = 1,2$

donde denominamos región 1 al interior del tubo y región 2 al exterior.

Aplicando la ley de Gauss para el campo magnético resulta

$0 = \nabla\cdot\mathbf{B} = \frac{1}{\rho}\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}\rho}\left(\rho B_\rho\right)\quad\Rightarrow\quad B_\rho = \frac{k_i}{\rho}$

siendo $k i$ dos constantes, una para el interior del tubo y otra para el exterior

Ahora bien, puesto que el campo no puede tender a 0 en $ρ = 0$ , ya que el campo no puede diverger donde no hay corrientes, resulta que

$k_1 = 0\,$

y aplicando ahora la condición de salto para la componente normal

$0 = \mathbf{n}\cdot[\mathbf{B}] = \mathbf{u}_\rho\cdot\left(\mathbf{B}_2(a^+)-\mathbf{B}_1(a^-)\right) = \frac{k_2}{a}-0\quad\Rightarrow\quad k_2 = 0$

y por tanto, como consecuencia de la ley de Gauss para el campo magnético, la componente radial es nula en todo el espacio.

$B_\rho=0\,$

Del mismo modo, al no haber corrientes de volumen, los campos en el interior y el exterior pueden escribirse como

$B_{1z}=a_1\qquad B_{2z}=a_2\qquad B_{1\varphi}=\frac{c_1}{\rho}\qquad B_{2\varphi}=\frac{c_2}{\rho}$

La condición de que el campo no sea singular en el eje significa

$c_1=0\,$

mientras que la anulación del campo en el infinito supone

$a_2=0\,$

Las otras dos constantes se obtienen de la condición de salto, que en este caso es

$\mathbf{n}\times[\mathbf{B}]=a_1\mathbf{u}_{\varphi}+\frac{k_2}{R}\mathbf{u}_{z}=\mu_0\mathbf{K}=\mu_0 K\mathbf{u}_{z} \quad\Rightarrow\quad a_1=0\qquad k_2=\mu_0 K a$

con lo que el resultado final es que el campo se anula en el interior

$\mathbf{B}_1=0\,$

y en el exterior decae como la inversa de la distancia al eje

$\mathbf{B}_2=\frac{\mu_0 K a}{\rho}\mathbf{u}_{\varphi}$

Este campo exterior es idéntico al de un hilo de corriente cuya intensidad es

$\mathbf{B}=\frac{\mu_0I}{2\pi\rho}\mathbf{u}_{\varphi}\quad\Rightarrow\quad I=2\pi a K$

Esta corriente es justamente la cantidad total que fluye a través de una sección del tubo de corriente. Resulta entonces que el campo debido a un tubo hueco por el cual circula una corriente longitudinal, es nulo en el exterior y en el interior es el mismo que habría si toda la corriente circulara por el centro del tubo.

Campo de un tubo cilíndrico

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