Entrar Página Discusión Historial Go to the site toolbox

Bloque sobre plano inclinado girando

De Laplace

Revisión a fecha de 15:04 27 ene 2011; Pedro (Discusión | contribuciones)
(dif) ← Revisión anterior | Revisión actual (dif) | Revisión siguiente → (dif)

Contenido

1 Enunciado

Una partícula puntual de masa m se mueve sobre un plano inclinado. A su vez, el plano gira de modo que el ángulo con la horizontal es θ(t) = ωt. Sobre la masa actúa además la gravedad \vec{g}. El contacto entre la partícula y el plano es liso.

  1. Encuentra la expresión de la ecuación diferencial que cumple la distancia de la partícula al origen de coordenadas, ρ(t), así como la expresión que da el valor de la fuerza de reacción vincular \vec{\Phi}(t).
  2. Demuestra que, para los valores apropiados de las constantes α y K, la expresión siguiente es solución de la ecuación diferencial. ¿Cuáles son esos valores de α y K?
    \rho(t) = A\,\cosh(\alpha t) + B\,\mathrm{senh}\,(\alpha t) + K\,\mathrm{sen}\,(\omega t)
  3. Si en el instante inicial tenemos ρ(0) = 0 y \dot{\rho}(0)=v_0 encuentra cuánto valen las constantes A y B de la expresión anterior.
  4. ¿Se conserva la energía mecánica del sistema? Razona la respuesta.

2 Solución

2.1 Ecuación diferencial y fuerza de reacción vincular

Este problema es similar a uno hecho en clase por dos métodos distintos. Se trata de describir el movimiento de una partícula puntual sobre un plano inclinado que a su vez rota con velocidad angular uniforme ω. Hay tres formas distintas de encontrar la ecuación diferencial y la expresión de la fuerza de reacción vincular, a saber: usando coordenadas polares, coordenadas cartesianas o dinámica en sistemas de referencia no inerciales.

2.1.1 Coordenadas polares

En Dinámica de un partícula, la ecuación diferencial que determina el movimiento es la Segunda Ley de Newton

m\,\vec{a} = \sum_i \vec{F}_{i}

donde m es la masa de la partícula, \vec{a} su aceleración y \vec{F}_i las fuerzas que actúan sobre ella. Vamos a resolverlo usando ecuaciones polares. Al final del problema explicaremos como se resuelve con los otros dos métodos.

2.1.1.1 Fuerzas que actúan sobre la partícula

Las fuerzas que actúan sobre la partícula en este problema son el peso y la fuerza de reacción vincular del plano sobre ella. El enunciado nos dice que el contacto es liso, por lo que la fuerza de reacción vincular, \vec{Phi} , es perpendicular al plano. Hemos de expresar las fuerzas en el sistema de coordenadas que estamos usando, polares en este caso. A partir de la figura vemos que

\begin{array}{l} m\,\vec{g} = -m\,g\,\mathrm{sen}(\theta)\,\vec{u}_{\rho} - m\,g\cos(\theta)\,\vec{u}_{\theta} \\ \\ \vec{\Phi} = \Phi\,\vec{u}_{\theta} \end{array}

Según el enunciado del problema, el plano gira con velocidad angular constante, de modo que θ = ωt.

2.1.1.2 Aceleración de la partícula

En coordenadas polares los vectores de posición, velocidad y aceleración de un punto material son

\begin{array}{l} \vec{r}(t) = \rho(t)\,\vec{u}_{\rho}(t) \\ \\ \vec{v}(t) = \dot{\vec{r}} = \dot{\rho}\,\vec{u}_{\rho} + \rho\,\dot{\theta}\,\vec{u}_{\theta} \\ \\ \vec{a}(t) = \dot{\vec{v}} = (\ddot{\rho}-\rho\,\dot{\theta}^2)\,\vec{u}_{\rho} + (2\dot{\rho}\,\dot{\theta} + \rho\,\ddot{\theta})\,\vec{u}_{\theta} \end{array}

En este problema tenemos \dot{\theta}=\omega y \ddot{\theta}=0 . Por tanto la aceleración es

\vec{a} = (\ddot{\rho} - \rho\,\omega^2)\,\vec{u}_{\rho} + 2\,\omega\,\dot{\rho}\,\vec{u}_{\theta}

2.1.1.3 Ecuación diferencial

Ahora podemos escribir la Segunda Ley de Newton proyectada en el sistema de coordenadas cartesianas

m\,\vec{a} = m\,\vec{g} + \vec{\Phi} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{lcl} \vec{u}_{\rho} & \to & m\,(\ddot{\rho} - \rho\,\omega^2) = -m\,g\,\mathrm{sen}(\omega t)\\ & & \\ \vec{u}_{\theta} & \to & 2\,m\,\omega\,\dot{\rho} = - m\,g\cos(\omega t) + \Phi \end{array} \right.

Así pues, la ecuación diferencial es

\ddot{\rho} = \omega^2\,\rho - g\,\mathrm{sen}(\omega t)

y la expresión que da la fuerza de reacción vincular

\Phi = 2\,m\,\omega\,\dot{\rho} + m\,g\cos(\omega t)

2.2 Verificación de la solución del enunciado

Se nos pide ahora que verifiquemos que la función

\rho(t) = A\,\cosh(\alpha t) + B\,\mathrm{senh}\,(\alpha t) + K\,\mathrm{sen}\,(\omega t)

es solución de la ecuación diferencial con los valores adecuados de las constantes α y K. Calculamos cada lado de la ecuación diferencial. La derivada de la solución aportada es

\dot{\rho} = A\,\alpha\,\mathrm{senh}(\alpha t) + B\,\alpha\cosh(\alpha t) + K\,\omega\cos(\omega t)

El lado izquierdo de la ecuación diferencial es

\ddot{\rho} = A\,\alpha^2\cosh(\alpha t) + B\,\alpha^2\,\mathrm{senh}(\alpha t) - K\,\omega^2\,\mathrm{sen}(\omega t)

El lado derecho es

\omega^2\,\rho - g\,\mathrm{sen}(\omega t) = A\,\omega^2\,\alpha\,\mathrm{senh}(\alpha t) + B\,\omega^2\,\alpha\cosh(\alpha t) + (K\,\omega^2 - g)\,\omega\cos(\omega t)

Para que el lado izquierdo y el derecho coincidan debe ocurrir

\alpha^2 = \omega^2 \qquad \qquad -\omega^2 K = \omega^2 K -g

Es decir, la función propuesta es solución si

\alpha = \omega\qquad \qquad K = \dfrac{g}{2\omega^2}

2.3 Condiciones iniciales

Podemos calcular las constantes A y B cuando conocemos las condiciones iniciales. Tenemos

\begin{array}{l} \rho(t) = A\cosh(\alpha t) + B\,\mathrm{senh}(\alpha t) + K\,\mathrm{sen}(\omega t) \\ \\ \dot{rho} = A\,\alpha\,\mathrm{senh}(\alpha t) + B\,\alpha\,cosh(\alpha t) + K\,\omega\cos(\omega t) \end{array} Para aplicar las condiciones iniciales tenemos en cuenta que <center> \cos(0) = 1 \qquad\qquad \mathrm{sen}(0)=0 \qquad\qquad \cosh(0)=1 \qquad\qquad \mathrm{senh}(0) = 0

Tenemos

\begin{array}{lcl} \rho(0) = 0 & \to & A = 0 \\ & & \\ \dot{rho}(0) = v_0 & \to & B\,\alpha + K\,\omega = v_0 \end{array}

Sustituyendo los valores de α y B del apartado anterior tenemos

A=0 \qquad \qquad B = \dfrac{v_0}{\omega} - \dfrac{g}{2\omega^2}

2.4 Conservación de la energía mecánica

En este sistema no se conserva la energía mecánica. Aunque no hay rozamiento, la fuerza de reacción vincular realiza trabajo sobre la partícula, y esta fuerza de reacción vincular no es conservativa. Podemos calcular la potencia que la fuerza de reacción vincular transfiere a la partícula

P_{\Phi} = \vec{\Phi}\cdot\vec{v} = (\Phi\,\vec{u}_{\theta})\cdot(\dot{rho}\,\vec{u}_{\rho} + \rho\,\omega\,\vec{u}_{\theta})

Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/Bloque_sobre_plano_inclinado_girando"

Herramientas:

Herramientas personales
TOOLBOX
LANGUAGES
licencia de Creative Commons
 Aviso legal - Acerca de Laplace