Tres conductores esféricos concéntricos

De Laplace

Revisión a fecha de 18:42 22 ene 2011; Antonio (Discusión | contribuciones)

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Contenido

1 Enunciado
2 Coeficientes y circuito
3 Cargas y potenciales iniciales
- 3.1 Empleando la matriz de coeficientes
- 3.2 Empleando el circuito equivalente
4 Cargas y potenciales finales
5 Variación en la energía

1 Enunciado

Se tienen un sistema formado por un conductor esférico “1” de radio 36 mm, una corona esférica “2” de radio interior 45 mm y exterior 60 mm y una corona esférica “3” de radio interior 120 mm y exterior 180 mm. Los tres conductores son concéntricos. No hay más conductores en el sistema.

Suponiendo, en primer lugar, que los conductores se encuentran respectivamente a tensiones $V 1$ , $V 2$ y $V 3$ genéricas, diseñe el circuito equivalente mínimo y calcule los coeficientes de capacidad e inducción del sistema.
Suponga el caso particular de que la esfera interior esté a tierra, la corona central esté aislada y almacene una carga de 6 nC y la exterior esté aislada y descargada. ¿Cuánto valen, en ese caso las cargas y tensiones de cada una de los tres conductores?
Si en la situación anterior se conecta la corona exterior a tierra, ¿cuáles son las nuevas cargas y tensiones una vez que se alcanza el nuevo equilibrio electrostático?
¿Cuánto varía la energía almacenada en el sistema en el proceso anterior?

2 Coeficientes y circuito

La forma más sencilla de calcular la matriz de coeficientes de capacidad e inducción es construyendo simultáneamente el circuito equivalente.

Tenemos tres conductores, a los que corresponden tres nodos en el circuito equivalente.

Entre cada par de nodos hay que situar un condensador. Sin embargo, el conductor “1” está apantallado del “3” por la corteza intermedia “2”. Por tanto, el condesnador correspondiente posee capacidad nula y puede omitirse del circuito

$\overline{C}_{13}=0$

El condensador $\overline{C}_{12}$ que forman la esfera “1” y la corona “2” es un condensador esférico de radio interior 35 mm y exterior 45 mm, con capacidad

$\overline{C}_{12}=\frac{4\pi\varepsilon_0ab}{b-a}=\frac{(36\times 10^{-3})(36\times 10^{-3})}{9\times 10^9(45\times 10^{-3}-36\times 10^{-3})}\,\mathrm{F}=20.0\,\mathrm{pF}$

El condensador $\overline{C}_{23}$ que forman la corona “2” y la corona “3” es también un condensador esférico, en este caso de radio interior 60 mm y exterior 120 mm, siendo su capacidad capacidad

$\overline{C}_{23}=\frac{4\pi\varepsilon_0a'b'}{b'-a'}=\frac{(60\times 10^{-3})(120\times 10^{-3})}{9\times 10^9(120\times 10^{-3}-60\times 10^{-3})}\,\mathrm{F}=\frac{40}{3}\,\mathrm{pF}=13.3\,\mathrm{pF}$

Además de los condensadores que se forman entre cada par de conductores, debemos añadir aquellos que se forman entre cada conductor y el infinito. En principio hay uno por nodo. Sin embargo, tanto la esfera “1” como la corona “2” se encuentran apantallas del infinito por la corona “3”, que funciona como una jaula de Faraday. Por ello

$\overline{C}_{11}=\overline{C}_{22}=0$

Queda el condensador que el propio conductor “3” forma con el infinito. Esta puede calcularse como la de un condensador esférico cuyo radio exterior tiende a infinito, o simplemente como la de un condensador esférico de radio 180 mm:

$\overline{C}_{33}=4\pi\varepsilon_0a''=\frac{180\times 10^{-3}}{9\times 10^9}\,\mathrm{F}=20.0\,\mathrm{pF}$

Por último añadimos las fuentes de tensión conectadas a cada nodo. Con esto ya tenemos completo el circuito equivalente.

Una vez que tenemos las capacidades y autocapacidades, hallamos la matriz de coeficientes de capacidad e inducción.

Los coeficientes de inducción son iguales a las capacidades cambiadas de signo. Por tanto

$C_{12}=C_{21}=-\overline{C}_{12}=-20.0\,\mathrm{pF}$ $C_{13}=C_{31}=-\overline{C}_{13}=0.0\,\mathrm{pF}$ $C_{23}=C_{32}=-\overline{C}_{23}=-13.3\,\mathrm{pF}$

Los coeficientes de capacidad los calculamos sumando las capacidades de todos los condensadores conectados a cada nodo. Esto nos da

$C_{11}=\overline{C}_{11}+\overline{C}_{12}+\overline{C}_{13}=20.0\,\mathrm{pF}$ $C_{22}=\overline{C}_{12}+\overline{C}_{22}+\overline{C}_{23}=33.3\,\mathrm{pF}$ $C_{33}=\overline{C}_{13}+\overline{C}_{23}+\overline{C}_{33}=33.3\,\mathrm{pF}$

Escribiendo todos los resultados en forma matricial obtenemos

$\mathsf{C}=\begin{pmatrix} 20.0 & -20.0 & 0 \\ -20.0 & 33.3 & -13.3 \\ 0 & -13.3 & 33.3\end{pmatrix}\,\mathrm{pF}$

Podemos comprobar que el conductor “1” se encuentra en influencia total con el “2”. Éste, en cambio, no se encuentra en influencia total con ninguno de los otros, pues habrá tanto líneas que vayan al conductor “1” como al “3”.

Todas las capacidades y coeficientes pueden expresarse como múltiplos de una unidad

$C_0 = \frac{20}{3}\,\mathrm{pF}=6.66\,\mathrm{pF}$

de forma que queda

$\overline{C}_{12}=3C_0$ $\overline{C}_{23}=2C_0$ $\overline{C}_{33} = 3C_0$

y para la matriz de coeficientes de capacidad e inducción

$\mathsf{C}= \begin{pmatrix} 3 & -3 & 0 \\ -3 & 5 & -2 \\ 0 & -2 & 5\end{pmatrix}\,C_0$

Conocida la matriz tenemos la relación general entre cargas y tensiones en este sistema

$\begin{pmatrix}Q_1 \\ Q_2 \\ Q_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 20.0 & -20.0 & 0 \\ -20.0 & 33.3 & -13.3 \\ 0 & -13.3 & 33.3\end{pmatrix}\,\mathrm{pF}\cdot\begin{pmatrix}V_1 \\ V_2 \\ V_3\end{pmatrix}$

o bien directamente a partir de las capacidades del circuito equivalente

$\begin{array}{rcl} Q_1 & = & \overline{C}_{11}(V_1-V_2)= (20.0\,\mathrm{nF})(V_1-V_2) \\ Q_2 & = & \overline{C}_{12}(V_2-V_1)+\overline{C}_{23}(V_2-V_3) = (-20.0\,\mathrm{nF})V_1+(33.3\,\mathrm{nF}))V_2-(13.3\,\mathrm{nF}))V_3 \\ Q_3 & = & \overline{C}_{23}(V_3-V_2) +\overline{C}_{33}V_3= (-13.3\,\mathrm{nF}))V_2+(33.3\,\mathrm{nF}))V_3 \end{array}$

3 Cargas y potenciales iniciales

3.1 Empleando la matriz de coeficientes

Se trata ahora de aplicar los coeficientes claculados anteriormente a un caso particular.

Se nos dice que la esfera interior está a tierra, mientras que las dos coronas están a carga constante

$V_1=0\qquad\qquad Q_2 = 6.0\,\mathrm{nC}\qquad\qquad Q_3 = 0.0\,\mathrm{nC}$

Debemos halla $Q 1$ , $V 2$ y $V 3$ . Esto lo conseguimos sustituyendo en el sistema de ecuaciones anterior, que se reduce a

$\begin{array}{rcl} Q_1 & = & -(20.0\,\mathrm{pF})V_2 \\ 6.0\,\mathrm{nC} & = & (33.3\,\mathrm{pF})V_2-(13.3\,\mathrm{nF})V_3 \\ 0.0\,\mathrm{nC} & = & -(13.3\,\mathrm{pF})V_2+(33.3\,\mathrm{nF})V_3 \end{array}$

De la tercera ecuación obtenemos

$V_3 = \frac{13.3}{33.3}V_2 = 0.4V_2$

y sustituyendo en la segunda

$6.0\,\mathrm{nC}=(28\,\mathrm{pF})V_2\qquad\Rightarrow\qquad V_2 = \frac{3}{14}\,\frac{\mathrm{nC}}{\mathrm{pF}}= 214.3\,\mathrm{V}$

A partir de este voltaje hallamos las otras dos incógnitas

$V_3 = 0.4V_2 = 53.6\,\mathrm{V}$ $Q_1 = -(20.0\,\mathrm{pF})(214.3\,\mathrm{V})=-4.29\,\mathrm{nC}$

Si empleamos la matriz en términos $C 0$ podemos expresar los resultados como números racionales. Si llamamos Q_0 a la carga de la corona “2”

$\begin{array}{rcl} Q_1 & = & -3C_0V_2 \\ Q_0 & = & 5C_0V_2-2C_0V_3 \\ 0.0\,\mathrm{nC} & = & -2C_0V_2+5C_0V_3 \end{array}$

y obtenemos

$V_2 = \frac{5Q_0}{21C_0}$ $V_3 = \frac{2}{5}V_2=\frac{2Q_0}{21C_0}$ $Q_1 = \frac{5}{7}Q_0$

3.2 Empleando el circuito equivalente

Podemos emplear el circuito equivalente para halar las cargas y tensiones sin pasar por los coeficientes de capacidad.

En este caso particular tenemos que el conductor 1 está a tierra, lo que representamos con una conexión a tierra en el nodo 1; el conductor 2 almacena una carga de 6 nC, que representamos mediante una fuente de carga; el conductor “3” está aislado y descargado, por lo que podemos omitir la fuente conectada a este nodo.

Analizando este circuito, podemos ver que se compone de la asociación en paralelo del condensador $\overline{C}_{12}$ con la asociación en serie del $\overline{C}_{23}$ y el $\overline{C}_{33}$ . Esto nos da de forma inmediata la tensión del nodo 2. Hallamos la capacidad equivalente del circuito

$C_\mathrm{eq}= \overline{C}_{12}+\frac{\overline{C}_{23}\overline{C}_{33}}{\overline{C}_{23}+\overline{C}_{33}}=20\,\mathrm{pF}+\frac{13.3\times 20.0}{20.0+13.3}\,\mathrm{pF}=28\,\mathrm{pF}$

y resulta la tensión del nodo 2

$V_2 = \frac{Q_0}{C_\mathrm{eq}}=\frac{6\,\mathrm{nC}}{28\,\mathrm{pF}}=214.3\,\mathrm{V}$

4 Cargas y potenciales finales

5 Variación en la energía

Tres conductores esféricos concéntricos

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1 Enunciado

2 Coeficientes y circuito

3 Cargas y potenciales iniciales

3.1 Empleando la matriz de coeficientes

3.2 Empleando el circuito equivalente

4 Cargas y potenciales finales

5 Variación en la energía

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