Descarga de un condensador con un medio polarizado

De Laplace

Contenido 1 Enunciado 2 Solución 2.1 Estado estacionario antes de la desconexión 2.2 Voltaje de la placa central 2.3 Estado estacionario tras la desconexión 2.4 Estado transitorio

1 Enunciado

El sistema de la figura está formado por tres placas conductoras ideales, planas y paralelas, todas de área S. Todas las placas pueden suponerse muy delgadas. Entre la placa “1” y la “2” hay un dieléctrico ideal de espesor a, caracterizado porque presenta una polarización uniforme y constante , perpendicular a dichas placas. Entre las placas “2” y “3”, separadas una distancia b, hay un medio óhmico de conductividad σ y permitividad . Las dos regiones entre las placas están inicialmente descargadas. La placa central se encuentra conectada a un generador, que fija una diferencia de potencial V₀ respecto a las otras dos placas, ambas a tierra.

1. Determine los campos y corrientes en el sistema cuando éste se halla en régimen estacionario.
2. Calcule las distribuciones estacionarias de carga libre en el sistema. Ajuste el valor de V₀ para que la placa central esté descargada. Este valor se usará en los dos apartados siguientes.
3. En un instante t = 0 se desconecta el generador. Halle la distribución de campos, corrientes y cargas libres en el sistema cuando se alcanza de nuevo una situación estacionaria.
4. Calcule la evolución en el tiempo de los campos, las corrientes y la carga libre en las placas.

Desprecie los efectos de borde.

2 Solución

2.1 Estado estacionario antes de la desconexión

La clave para resolver este apartado es observar que la placa central es un conductor a potencial fijado y por tanto separa completamente los problemas a un lado y al otro de ella. Así, en lugar de un problema complicado tenemos dos problemas sencillos:

• En 0 < z < a tenemos una región polarizada uniformemente con polarización

situada entre dos conductores a potenciales 0 y V₀, respectivamente.

Si suponemos despreciables los efectos de borde, dado que el medio entre las placas es homogéneo, el campo eléctrico es uniforme entre las placas y va en la dirección perpendicular a ellas:

El valor del campo lo obtenemos de la diferencia de potencial entre las placas:

      

y, conocidos el campo y la polarización tenemos el vector desplazamiento:

2.2 Voltaje de la placa central

2.3 Estado estacionario tras la desconexión

2.4 Estado transitorio