6.7. Movimiento de dos varillas articuladas

De Laplace

Revisión a fecha de 00:44 9 ene 2011; Antonio (Discusión | contribuciones)

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Contenido

1 Enunciado
2 Reducciones cinemáticas
3 Posición del CIR
- 3.1 Gráficamente
- 3.2 Analíticamente
4 Aceleraciones

1 Enunciado

El mecanismo de la figura está constituido por dos varillas rígidas (sólidos “2” y “0”), de grosor despreciable y longitud indefinida, que se mueven en el plano fijo $O X 1 Y 1$ (sólido “1”). La varilla “2” se desplaza verticalmente hacia arriba con velocidad constante $v$ , manteniéndose siempre paralela al eje $OY_{\! 1}$ y a una distancia $c$ de éste; mientras que la varilla “0”, articulada a la anterior en su extremo común A, desliza por el interior de un pasador giratorio ubicado en el punto O del sólido “1”. Utilizando el ángulo $θ$ (definido en la figura) como parámetro descriptivo del movimiento, se pide:

Reducción cinemática de los movimientos {21}, {20} y {01} en el punto O, es decir: $\{\vec{\omega}_{\!21};\;\vec{v}^{\,O}_{21}\}$ , $\{\vec{\omega}_{20};\;\vec{v}^{\,O}_{20}\}$ y $\{\vec{\omega}_{01};\;\vec{v}^{\,O}_{01}\}$ .
Determinación gráfica y determinación analítica de la posición del punto $I 01$ , centro instantáneo de rotación del movimiento {01}.
Cálculo de las aceleraciones $\vec{a}^{A}_{01}$ y $\vec{a}^{\, O}_{01}$ .

Nota: Para resolver el ejercicio, se propone el uso de la base vectorial asociada al sistema de ejes $AX_{\! 0}Y_0$ de la figura, que se mueve solidariamente con la varilla “0” y cuyo eje $A X 0$ es colineal con ella.

2 Reducciones cinemáticas

2.1 Movimiento {21}

La varilla “2” realiza una traslación respecto al sólido “1”, por tanto

$\omega_{21}=0\,$

La velocidad de esta traslación nos la da el enunciado, puesto que se nos dice que la barra sube con rapidez constante

$\vec{v}^A_{21}=v\vec{\jmath}_1$

Esta velocidad la podemos obtener también derivando la posición de uno de los puntos del sólido “2”. El punto A, extremo de la barra, tiene un vector de posición instantáneo

$\overrightarrow{OA}=c\vec{\imath}_1+c\,\mathrm{tg}(\theta)\vec{\jmath}_1$

Derivando en esta expresión

$\vec{v}^A_{21}=\left.\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\overrightarrow{OA}\right|_1 = \frac{c\dot{\theta}}{\cos^2(\theta)}\vec{\jmath}_1$

Igualando las dos expresiones obtenemos la relación

$\dot{\theta}=\frac{v}{c}\cos^2(\theta)$

En el punto O la reducción es idéntica a la del punto A, por tratarse de una traslación. Por tanto

$\left\{\vec{\omega}_{21},\vec{v}^O_{21}\right\}=\left\{\vec{0},v\vec{\jmath}_1\right\}$

2.2 Movimiento {01}

La velocidad angular del movimiento {01} la da la derivada del ángulo que forma el eje $O X 0$ con el $O X 1$

$\omega_{01}=\dot{\theta}$

En términos de $v$ , la rapidez de la barra

$\omega_{01}=\dot{\theta}=\frac{v}{c}\cos^2(\theta)$

La velocidad del punto O en este movimiento la obtenemos a partir de la velocidad del punto A, ya que, por tratarse de una articulación entre el sólido “2” y el “0”

$\vec{v}^A_{01}=\overbrace{\vec{v}^A_{02}}^{=\vec{0}}+\vec{v}^A_{21} = v\vec{\jmath}_1$

La velocidad de O es entonces

$\vec{v}^O_{01}=\vec{v}^A_{01}+\omega_{01}\vec{k}\times\overrightarrow{AO}=v\vec{\jmath}_1+\frac{v}{c}\cos^2(\theta)\vec{k}\times\left(-c\vec{\imath}_1-c\,\mathrm{tg}(\theta)\vec{\jmath}_1\right)=v\,\mathrm{sen}(\theta)\cos(\theta)\vec{\imath}_1+v\,\mathrm{sen}^2(\theta)\vec{\jmath}_1$

Sacando factor común

$\vec{v}^O_{01}=v\,\mathrm{sen}(\theta)\left(\cos(\theta)\vec{\imath}_1+\mathrm{sen}(\theta)\vec{\jmath}_1\right)$

El vector entre paréntesis no es otro que $\vec{\imath}_0$ , el unitario en la dirección del eje $O X 0$ , ya que

$\vec{\imath}_0=\cos(\theta)\vec{\imath}_1+\mathrm{sen}(\theta)\vec{\jmath}_1$ $\vec{\jmath}_0=-\mathrm{sen}(\theta)\vec{\imath}_1+\cos(\theta)\vec{\jmath}_1$

por lo cual

$\vec{v}^O_{01}=v\mathrm{sen}(\theta)\vec{\imath}_0$

Esto está de acuerdo con que el par cinemático debido al pasador obliga a que la velocidad de O sea en la dirección de la propiua barra en el movimiento {01}.

La reducción cinemática la escribimos reuniendo los dos resultados

$\left\{\vec{\omega}_{01},\vec{v}^O_{01}\right\}=\left\{\dot{\theta}\vec{k}=v\mathrm{sen}(\theta)\vec{\imath}_0\right\}$

2.3 Movimiento {20}

Una vez que tenemos las otros dos reducciones cinemáticas, la del tercer movimiento se halla simplemente aplicando la ley de composición de velocidades angulares

$\omega_{20}=\omega_{21}+\omega_{10}=\omega_{21}-\omega_{01}=-\dot{\theta}=-\frac{v}{c}\cos^2(\theta)$

y la ley de composición de velocidades

$\vec{v}^O_{20}=\vec{v}^O_{21}+\vec{v}^O_{10}=\vec{v}^O_{21}-\vec{v}^O_{01}=v\vec{\jmath}_1-v\,\mathrm{sen}(\theta)\vec{\imath}_0$

Esta expresión es correcta, pero no es muy informativa en cuanto a que mezcla vectores de dos bases diferentes. Pasando todo a la base “0”

$\vec{v}^O_{20}=v\left(\mathrm{sen}(\theta)\vec{\imath}_0+\cos(\theta)\vec{\jmath}_0\right)-v\,\mathrm{sen}(\theta)\vec{\imath}_0=v\cos(\theta)\vec{\jmath}_0$

y, en la base “1”

$\vec{v}^O_{20}=-v\,\mathrm{sen}(\theta)\cos(\theta)\vec{\imath}_1+v\cos^2(\theta)\vec{\jmath}_1$

lo que nos da la reducción cinemática

$\left\{\vec{\omega}_{20},\vec{v}^O_{20}\right\}=\left\{-\frac{v}{c}\cos^2(\theta)\vec{k},v\cos(\theta)\vec{\jmath}_0\right\}$

Podemos llegar a esta reducción directamente, sin emplear la composición de movimientos.

El ángulo que forman las dos barras es $π / 2 - θ$ por lo que la velocidad angular es

$\omega_{20}=\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=-\dot{\theta}$

El movimiento {20} es una rotación en torno a la articulación A, que es el CIR $I 20$ . Por tanto

$\vec{v}^O_{20}=\omega_{20}\vec{k}\times\overrightarrow{AO}$

siendo el vector de posición relativo

$\overrightarrow{AO}=-c\vec{\imath}_1-c\,\mathrm{tg}(\theta)\vec{\jmath}_1 = -\frac{c}{\cos(\theta)}\vec{\imath}_0$

Sustituyendo este vector de posición y la velocidad angular reobtenemos el resultado anterior.

3 Posición del CIR

3.1 Gráficamente

Conocidas las direcciones de las velocidades $\vec{v}^A_{01}$ y $\vec{v}^O_{01}$ podemos localizar el CIR.

En el movimiento {01}, el punto A, según hemos visto, se mueve en la dirección del eje $O Y 1$ . Por tanto, el CIR $I 01$ se encuentra en la recta paralela a $O X 1$ que pasa por A.

El punto O se encuentra obligado por el pasador a moverse longitudinalmente a lo largo del sólido “0”. Por ello, el CIR se encontrará en la perpendicular a la barra “0” que pasa por este punto.

La intersección de estas dos rectas nos da el CIR $I 20$ .

Su vector de posición lo obtenemos observando que se encuentra sobre el eje $O Y 0$

$\overrightarrow{OI}_{01}=y_0 \vec{\jmath}_0$

La distancia sobre este eje es un cateto opuesto de un triángulo cuyo ángulo es $θ$ y cuyo cateto contiguo es $|\overrightarrow{OA}|$ . A su vez, esta distancia es una hipotenusa de otro triángulo cuyo cateto contiguo mide $c$ :

$\mathrm{tg}(\theta)=\frac{y_0}{|\overrightarrow{OA}|}$ $\cos(\theta)=\frac{c}{|\overrightarrow{OA}|}$

Despejando de aquí

$\overrightarrow{OI}_{01} = \frac{c\,\mathrm{sen}(\theta)}{\cos^2(\theta)}\vec{\jmath}_0$

Si expresamos este vector en la base ligada al sólido “1” nos da

$\overrightarrow{OI}_{01}=-c\,\mathrm{tg}^2(\theta)\vec{\imath}_1 + c\,\mathrm{tg}(\theta)\vec{\jmath}_1$

3.2 Analíticamente

También podemos obtener la posición del CIR conocida la reducción cinemática en O

$\overrightarrow{OI}_{01}=\frac{\vec{k}\times\vec{v}^O_{01}}{\omega_{01}}=\frac{1}{\dot{\theta}}\vec{k}\times\left(c\dot{\theta}\,\mathrm{tg}(\theta)\vec{\imath}_1+c\dot{\theta}\,\mathrm{tg}^2(\theta)\vec{\jmath}_1\right)=-c\,\mathrm{tg}^2(\theta)\vec{\imath}_1+c\,\mathrm{tg}(\theta)\vec{\jmath}_1$

que naturalmente coincide con el resultado anterior.

4 Aceleraciones

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2.2 Movimiento {01}

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3.2 Analíticamente

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