6.7. Movimiento de dos varillas articuladas

De Laplace

Revisión a fecha de 21:30 8 ene 2011; Antonio (Discusión | contribuciones)

(dif) ← Revisión anterior | Revisión actual (dif) | Revisión siguiente → (dif)

Contenido

1 Enunciado
2 Reducciones cinemáticas
3 Posición del CIR
- 3.1 Gráficamente
4 Aceleraciones

1 Enunciado

El mecanismo de la figura está constituido por dos varillas rígidas (sólidos “2” y “0”), de grosor despreciable y longitud indefinida, que se mueven en el plano fijo $O X 1 Y 1$ (sólido “1”). La varilla “2” se desplaza verticalmente hacia arriba con velocidad constante $v$ , manteniéndose siempre paralela al eje $OY_{\! 1}$ y a una distancia $c$ de éste; mientras que la varilla “0”, articulada a la anterior en su extremo común A, desliza por el interior de un pasador giratorio ubicado en el punto O del sólido “1”. Utilizando el ángulo $θ$ (definido en la figura) como parámetro descriptivo del movimiento, se pide:

Reducción cinemática de los movimientos {21}, {20} y {01} en el punto O, es decir: $\{\vec{\omega}_{\!21};\;\vec{v}^{\,O}_{21}\}$ , $\{\vec{\omega}_{20};\;\vec{v}^{\,O}_{20}\}$ y $\{\vec{\omega}_{01};\;\vec{v}^{\,O}_{01}\}$ .
Determinación gráfica y determinación analítica de la posición del punto $I 01$ , centro instantáneo de rotación del movimiento {01}.
Cálculo de las aceleraciones $\vec{a}^{A}_{01}$ y $\vec{a}^{\, O}_{01}$ .

Nota: Para resolver el ejercicio, se propone el uso de la base vectorial asociada al sistema de ejes $AX_{\! 0}Y_0$ de la figura, que se mueve solidariamente con la varilla “0” y cuyo eje $A X 0$ es colineal con ella.

2 Reducciones cinemáticas

2.1 Movimiento {21}

La varilla “2” realiza una traslación respecto al sólido “1”, por tanto

$\omega_{21}=0\,$

La velocidad de esta traslación la podemos obtener derivando la posición de uno de los puntos del sólido “2”. El punto A, extremo de la barra, tiene un vector de posición instantáneo

$\overrightarrow{OA}=c\vec{\imath}_1+c\,\mathrm{tg}(\theta)\vec{\jmath}_1$

Derivando en esta expresión

$\vec{v}^A_{21}=\left.\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\overrightarrow{OA}\right|_1 = \frac{c\dot{\theta}}{\cos^2(\theta)}\vec{\jmath}_1$

En el punto O la reducción es idéntica a la del punto A, por tratarse de una traslación. Por tanto

$\left\{\vec{\omega}_{21},\vec{v}^O_{21}\right\}=\left\{\vec{0},\frac{c\dot{\theta}}{\cos^2(\theta)}\vec{\jmath}_1\right\}$

2.2 Movimiento {01}

La velocidad angular del movimiento {01} la da la derivada del ángulo que forma el eje $O X 0$ con el $O X 1$

$\omega_{01}=\dot{\theta}$

La velocidad del punto O en este movimiento la obtenemos a partir de la velocidad del punto A, ya que, por tratrse de una articulación entre el sólido “2” y el “0”

$\vec{v}^A_{01}=\overbrace{\vec{v}^A_{02}}^{=\vec{0}}+\vec{v}^A_{21} = \frac{c\dot{\theta}}{\cos^2(\theta)}\vec{\jmath}_1$

La velocidad de O es entonces

$\vec{v}^O_{01}=\vec{v}^A_{01}+\omega_{01}\vec{k}\times\overrightarrow{AO}=\frac{c\dot{\theta}}{\cos^2(\theta)}\vec{\jmath}_1+\dot{\theta}\vec{k}\times\left(-c\vec{\imath}_1-c\,\mathrm{tg}(\theta)\vec{\jmath}_1\right)=c\dot{\theta}\,\mathrm{tg}(\theta)\vec{\imath}_1+c\dot{\theta}\,\mathrm{tg}^2(\theta)\vec{\jmath}_1$

La reducción cinemática la escribimos reuniendo estos dos resultados

$\left\{\vec{\omega}_{01},\vec{v}^O_{01}\right\}=\left\{\dot{\theta}\vec{k},c\dot{\theta}\,\mathrm{tg}(\theta)\vec{\imath}_1+c\dot{\theta}\,\mathrm{tg}^2(\theta)\vec{\jmath}_1\right\}$

2.3 Movimiento {20}

Una vez que tenemos las otros dos reducciones cinemáticas, la del tercer movimiento se halla simplemente aplicando la ley de composición de velocidades angulares

$\omega_{20}=\omega_{21}+\omega_{10}=\omega_{21}-\omega_{01}=-\dot{\theta}$

y la ley de composición de velocidades

$\vec{v}^O_{20}=\vec{v}^O_{21}+\vec{v}^O_{10}=\vec{v}^O_{21}-\vec{v}^O_{01}=-c\dot{\theta}\,\mathrm{tg}(\theta)\vec{\imath}_1+\frac{c\dot{\theta}(1+\mathrm{sen}^2(\theta))}{\cos^2(\theta)}\vec{\jmath}_1$

lo que nos da la reducción cinemática

$\left\{\vec{\omega}_{20},\vec{v}^O_{20}\right\}=\left\{-\dot{\theta}\vec{k},-c\dot{\theta}\,\mathrm{tg}(\theta)\vec{\imath}_1+c\dot{\theta}\vec{\jmath}_1\right\}$

3 Posición del CIR

3.1 Gráficamente

Conocidas las direcciones de las velocidades $\vec{v}^A_{01}$ y $\vec{v}^O_{01}$ podemos localizar el CIR.

En el movimiento {01}, el punto A, según hemos visto, se mueve en la dirección del eje $O Y 1$ . Por tanto, el CIR $I 01$ se encuentra en la recta paralela a $O X 1$ que pasa por A.

El punto O se encuentra obligado por el pasador a moverse longitudinalmente a lo largo del sólido “0”. Por ello, el CIR se encontrará en la perpendicular a la barra “0” que pasa por este punto.

La intersección de estas dos rectas nos da el CIR $I 20$ .

Su vector de posición lo obtenemos observando que se encuentra sobre el eje $O Y 0$

$\overrightarrow{OI}_{01}=y_0 \vec{\jmath}_0$

La distancia sobre este eje es un cateto opuesto de un triángulo cuyo ángulo es $θ$ y cuyo cateto contiguo es $|\overrightarrow{OA}|$ . A su vez, esta distancia es una hipotenusa de otro triángulo cuyo cateto contiguo mide $c$ :

$\mathrm{tg}(\theta)=\frac{y_0}{|\overrightarrow{OA}|}$ $\cos(\theta)=\frac{c}{|\overrightarrow{OA}|}$

Despejando de aquí

$\overrightarrow{OI}_{01} = \frac{c\,\mathrm{sen}(\theta)}{\cos^2(\theta)}\vec{\jmath}_0$

Para expresar este vector en la base ligada al sólido “1” relacionamos los vectores de las dos bases

$\vec{\imath}_0=\cos(\theta)\vec{\imath}_1+\mathrm{sen}(\theta)\vec{\jmath}_1$ $\vec{\jmath}_0=-\mathrm{sen}(\theta)\vec{\imath}_1+\cos(\theta)\vec{\jmath}_1$

lo que nos da

$\overrightarrow{OI}_{01}=-c\,\mathrm{tg}^2(\theta)\vec{\imath}_1 + c\,\mathrm{tg}(\theta)\vec{\jmath}_1$

4 Aceleraciones

6.7. Movimiento de dos varillas articuladas

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

2 Reducciones cinemáticas

2.1 Movimiento {21}

2.2 Movimiento {01}

2.3 Movimiento {20}

3 Posición del CIR

3.1 Gráficamente

4 Aceleraciones

Herramientas:

Buscar

Vistas

Herramientas

Herramientas personales

Navegación

SEARCH

TOOLBOX

LANGUAGES