Problemas de movimiento plano (G.I.T.I.)

De Laplace

Revisión a fecha de 21:23 8 ene 2011; Antonio (Discusión | contribuciones)

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Contenido

1 Movimiento de un aro en un pasador
2 Movimiento de barra en un pasador
3 Ejemplo paramétrico de movimiento plano
4 Dos rodillos con deslizamiento entre ellos
5 Dos rodillos con deslizamiento con el suelo
6 Deslizamiento de dos sólidos cónicos
7 Barra apoyada en placa
8 Disco apoyado en placa
9 Disco en manivela ranurada
10 Movimiento de dos varillas articuladas
11 Barra horizontal apoyada en disco
12 Dos discos rodando en aro

1 Movimiento de un aro en un pasador

Sea un aro de centro $C$ y radio $R$ (sólido “2”) que se mueve, en un plano fijo $O X 1 Y 1$ (sólido $1$ ), de tal modo que está obligado a deslizar en todo instante por el interior de un pasador giratorio situado en el punto $O$ , y además se halla articulado en su punto $A$ a un deslizador que se mueve siempre sobre el eje horizontal $O X 1$ (ver figura). Con carácter auxiliar, se define el sistema de ejes $A X 2 Y 2$ (sólido $2$ ) solidario con el aro en su movimiento.

Determine gráfica y analíticamente la posición del C.I.R. del movimiento {21}.
Sabiendo que el ángulo $θ$ , que forman los ejes $O X 1$ y $A X 2$ , verifica la ley horaria $θ(t) = Ω t$ (donde $Ω$ es una constante conocida), calcule $\vec{v}^{A}_{21}(t)$ y $\vec{a}^{\, C}_{21}(t)$ .

2 Movimiento de barra en un pasador

La barra $A B$ (sólido “2”), de longitud $2 a$ , puede deslizar en su extremo A por el eje $O X 1$ de la escuadra fija $O X 1 Y 1$ (sólido “1”), al mismo tiempo que desliza por el interior de un pasador orientable ubicado en el punto C del eje $O Y 1$ , a una distancia $a$ del origen O. Sabiendo que la barra gira con velocidad angular constante $Ω$ (ley horaria $θ(t) = Ω t$ , donde $θ$ es el ángulo definido en la figura), se pide:

Determinar gráficamente la posición del C.I.R. del movimiento {21}.
Calcular las velocidades, $\vec{v}^{A}_{21}(t)$ y $\vec{v}^{B}_{21}(t)$ , y las aceleraciones, $\vec{a}^{A}_{21}(t)$ y $\vec{a}^{B}_{21}(t)$ , de los dos extremos de la barra en cualquier instante de tiempo.
Determinar analíticamente la posición del C.I.R. del movimiento {21}.

3 Ejemplo paramétrico de movimiento plano

La escuadra $O 2 X 2 Y 2$ (sólido “2”) se mueve respecto a la escuadra $O 1 X 1 Y 1$ (sólido “1”) de forma que su origen de coordenadas, $O 2$ , verifica la ecuación paramétrica

$\overrightarrow{O_1O_2} =A(\cos(\theta)+\theta \,\mathrm{sen}(\theta))\vec{\imath}_1 + A(\mathrm{sen}(\theta)-\theta \cos(\theta))\vec{\jmath}_1$

siendo $θ = θ(t)$ el ángulo que el eje $O 2 X 2$ forma con el $O 1 X 1$ .

Calcule la velocidad instantánea del punto $O 1$ en el movimiento {21}: $\vec{v}^{O_1}_{21}$ .
Determine la posición del CIR $I 21$ y exprésela empleando el sistema de referencia ligado al sólido “1”.
Exprese la posición del mismo punto $I 21$ en el sistema de referencia ligado al sólido “2”.

4 Dos rodillos con deslizamiento entre ellos

Un rodillo de radio $R=60\,\mathrm{cm}$ (sólido “0”) rueda sin deslizar sobre un suelo horizontal “1” de forma que su centro C avanza con una celeridad constante $v_0=30\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$ respecto al suelo. En su marcha, este rodillo empuja a un segundo rodillo de radio $r=15\,\mathrm{cm}$ (sólido “2”), que se ve obligado a rodar sin deslizar sobre el mismo suelo, manteniéndose tangente al primer rodillo (ver figura).

Calcule las velocidades angulares $\vec{\omega}_{21}$ , $\vec{\omega}_{01}$ y $\vec{\omega}_{20}$ .
Halle la velocidad relativa de deslizamiento en el punto A de contacto entre los dos sólidos $\vec{v}^A_{20}$ . ¿Cuál es la rapidez de este deslizamiento?
Determine la posición del centro instantáneo de rotación $I 20$ por los procedimientos siguientes: (i) analíticamente (con ayuda del resultado del apartado anterior); (ii) gráficamente (sugerencia: introduzca previamente un cuarto sólido consistente en una varilla BC articulada a los centros de ambos rodillos).

5 Dos rodillos con deslizamiento con el suelo

Suponga que en la configuración del problema anterior de dos rodillos el rozamiento del cilindro “2” con el “0” es mayor que con el suelo, de manera que el rodillo “2” debe rodar sin deslizar sobre el cilindro “0” (y rodar y deslizar sobre el suelo). Halle, para ese caso, la velocidad angular $\vec{\omega}_{21}$ , la velocidad de deslizamiento del rodillo “2” sobre el suelo $\vec{v}^D_{21}$ y la posición del CIR $I 21$ .

6 Deslizamiento de dos sólidos cónicos

Dos conos rectos “1” y “2” de la misma altura $H$ y mismo radio en la base $R$ se encuentran en contacto a lo largo de una generatriz. Ambos conos se encuentran montados sobre un armazón “0”, de forma que se encuentran rotando con velocidades angulares $\vec{\omega}_{10}=\omega_1\vec{k}$ y $\vec{\omega}_{20}=\omega_2\vec{k}$ alrededor de sus respectivos ejes. Determine la velocidad de deslizamiento en los puntos de contacto de los conos, como función de la altura $z$ medida en la dirección de los ejes desde la base del cono “1”.

7 Barra apoyada en placa

El esquema de la figura muestra una placa cuadrada de lado $a$ (sólido ``0"), uno de cuyos lados desliza sobre el eje horizontal fijo $O X 1$ (sólido “1”), mientras que la placa permanece contenida siempre en el plano vertical fijo $O X 1 Y 1$ . Sobre el vértice A de dicha placa se apoya en todo instante una varilla delgada (sólido “2”), que gira con velocidad angular constante $\vec{\omega}_{21}=\Omega \vec{k}_1$ , alrededor de su extremo articulado en el punto fijo O (ver figura). Se pide:

Determinar gráficamente la posición de los centros instantáneos de rotación $I 21$ , $I 02$ e $I 01$ .
Calcular: i) La velocidad del vértice A de la placa en el movimiento de ésta respecto de los ejes fijos (movimiento {01}), expresada en función de la posición del sistema: $\vec{v}_{\! 01}^A=\vec{v}_{01}^A(\theta)$ . ii) La velocidad angular $\vec{\omega}_{02}$ , correspondiente al movimiento relativo de la placa respecto de la varilla (movimiento {02}).
Determinar analíticamente la posición del CIR del movimiento {02} (en función del ángulo $θ$ ).

8 Disco apoyado en placa

El sistema mecánico de la figura está constituido por los siguientes sólidos rígidos: El plano fijo $O 1 X 1 Y 1$ (sólido “1”); la placa cuadrada, de lado $L$ , que desliza sobre el eje $O 1 X 1$ , manteniendo su lado inferior completo en permanente contacto con él (sólido “3”); el disco, de centro en C y radio $R$ , que, en todo instante, rueda sin deslizar sobre el eje $O 1 Y 1$ en el punto de contacto B, a la vez que rueda y desliza sobre la placa cuadrada en el punto de contacto $A$ (sólido “2”) y el sistema de ejes $A X 0 Y 0$ , definido de tal modo que el eje $A Y 0$ contiene permanentemente al centro C del disco, mientras que el eje $A X 0$ es tangente a dicho disco (sólido “0”).

Para el instante considerado en la figura, determine gráficamente la posición de los centros instantáneos de rotación $I 21$ , $I 20$ , $I 03$ , $I 23$ e $I 01$ .
Utilizando como parámetro el ángulo $θ$ del dibujo (ángulo que forma el eje $A X 0$ con respecto al lado superior de la placa cuadrada), y teniendo presentes las leyes de composición de velocidades y de velocidades angulares aplicadas a {21} = {20} + {03} + {31} halle las siguientes reducciones cinemáticas en C: $\{\vec{\omega}_{20}(\theta,\dot{\theta}),\vec{v}^{\; C}_{20}(\theta,\dot{\theta})\}$ , $\{\vec{\omega}_{03}(\theta,\dot{\theta}),\vec{v}^{\; C}_{03}(\theta,\dot{\theta})\}$ , $\{\vec{\omega}_{31}(\theta,\dot{\theta}),\vec{v}^{\; C}_{31}(\theta,\dot{\theta})\}$ y $\{\vec{\omega}_{21}(\theta,\dot{\theta}),\vec{v}^{\; C}_{21}(\theta,\dot{\theta})\}$ .

9 Disco en manivela ranurada

El sistema de la figura está constituido por un plano vertical fijo $O X 1 Y 1$ (sólido “1”) que en todo instante contiene a otros dos sólidos en movimiento: un disco de radio $R$ y centro $C$ (sólido “2”), que rueda sin deslizar sobre el eje horizontal $O X 1$ ; y una manivela ranurada $O A$ (sólido “0”), que es obligada a girar con velocidad angular constante $Ω$ alrededor de un eje permanente de rotación que pasa por el punto $O$ y es perpendicular al plano fijo definido como sólido “1” (eje $O Z 1$ ). Los movimientos de ambos sólidos se hallan vinculados entre sí porque el centro C del disco está obligado a deslizar en todo instante a lo largo de la ranura de la manivela.

Considerando el movimiento {20} como el movimiento problema, se pide:

Haciendo uso de procedimientos gráficos, determinar la posición del C.I.R. de dicho movimiento {20}.
Utilizando como parámetro geométrico el ángulo $θ$ indicado en la figura, obtener la reducción cinemática del movimiento {20} en el punto C, $\{\vec{\omega}_{20} (\theta), \vec{v}_{20}^{\, C} (\theta)\}$ .
Clasificar el movimiento {20} en el instante en que $θ = π / 2$ especificando si se trata de rotación, traslación, movimiento helicoidal o reposo.

10 Movimiento de dos varillas articuladas

El mecanismo de la figura está constituido por dos varillas rígidas (sólidos “2” y “0”), de grosor despreciable y longitud indefinida, que se mueven en el plano fijo $O X 1 Y 1$ (sólido “1”). La varilla “2” se desplaza verticalmente hacia arriba con velocidad constante $v$ , manteniéndose siempre paralela al eje $OY_{\! 1}$ y a una distancia $c$ de éste; mientras que la varilla “0”, articulada a la anterior en su extremo común A, desliza por el interior de un pasador giratorio ubicado en el punto O del sólido “1”. Utilizando el ángulo $θ$ (definido en la figura) como parámetro descriptivo del movimiento, se pide:

Reducción cinemática de los movimientos {21}, {20} y {01} en el punto O, es decir: $\{\vec{\omega}_{\!21};\;\vec{v}^{\,O}_{21}\}$ , $\{\vec{\omega}_{20};\;\vec{v}^{\,O}_{20}\}$ y $\{\vec{\omega}_{01};\;\vec{v}^{\,O}_{01}\}$ .
Determinación gráfica y determinación analítica de la posición del punto $I 01$ , centro instantáneo de rotación del movimiento {01}.
Cálculo de las aceleraciones $\vec{a}^{A}_{01}$ y $\vec{a}^{\, O}_{01}$ .

Nota: Para resolver el ejercicio, se propone el uso de la base vectorial asociada al sistema de ejes $AX_{\! 0}Y_0$ de la figura, que se mueve solidariamente con la varilla “0” y cuyo eje $A X 0$ es colineal con ella.

11 Barra horizontal apoyada en disco

El sistema de la figura consta de un disco (sólido “0”), de centro O y radio $R$ , que rueda sin deslizar sobre el eje horizontal $O 1 X 1$ de la escuadra fija $O 1 X 1 Y 1$ (sólido “1”); y de una barra de longitud indefinida (sólido “2”), que se desplaza horizontalmente con velocidad constante $v 0$ , manteniéndose siempre en contacto tangente con el perímetro del disco (punto $A$ ) y sin deslizar sobre éste. Se pide:

Reducciones cinemáticas de los movimientos {21}, {01} y {20} en el centro del disco (punto O), es decir: $\{\vec{\omega}_{\! 21};\,\vec{v}^{\, O}_{21}\}$ , $\{\vec{\omega}_{\,01};\,\vec{v}^{\, O}_{\,01}\}$ y $\{\vec{\omega}_{\,20};\,\vec{v}^{\, O}_{20}\}$ .
Aceleración relativa barra-disco del punto de contacto $A$ , es decir: $\vec{a}^{A}_{20}$ .

12 Dos discos rodando en aro

Se tiene el sistema de la figura, formado por dos discos “1” y “2” de radios $R_1=40\,\mathrm{cm}$ y $R_2=20\,\mathrm{cm}$ cuyos centros, C y D, están unidos por una barra rígida “3” de longitud $L=100\,\mathrm{cm}$ . Las dos ruedas del artilugio ruedan sin deslizar por la superficie interior de un aro “0” de radio $R_0=100\,\mathrm{cm}$ , siendo A y B los respectivos puntos de contacto. El centro del disco “1” gira con velocidad angular constante $\omega_{30}=1.50\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ en sentido antihorario respecto al aro exterior “0”.