Identificación del movimiento Segunda Prueba de Control (G.I.A.)

De Laplace

Revisión a fecha de 15:05 21 dic 2010; Pedro (Discusión | contribuciones)

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1 Enunciado

Se tienen los puntos de un sólido rígido, $A$ , $B$ y $C$ , con coordenadas cartesianas $A (1,1,0)$ , $B (2,2,1)$ y $C (0,1,0)$ . La velocidad en cada uno de los puntos en un instante es

$\vec{v}^A = -10\,\vec{\imath} + 10\,\vec{\jmath} \qquad\qquad \vec{v}^B = -20\,\vec{\imath} + 20\,\vec{\jmath} \qquad\qquad \vec{v}^C = -10\,\vec{\imath}$

¿Que tipo de movimiento realiza el sólido en ese instante?

2 Solución

En primer lugar hemos de verificar que el movimiento es posible. Para ello comprobamos que las tres velocidades dadas son equiproyectivas.

$\begin{array}{ccc} \left. \begin{array}{l} A(1,1,0) \\ \\ B(2,2,1) \\ \\ C(0,1,0) \end{array} \right| \left. \begin{array}{l} \overrightarrow{AB} = \vec{\imath} + \vec{\jmath} + \vec{k} \\ \\ \overrightarrow{AC} = -\,\vec{\imath} \\ \\ \overrightarrow{BC} = -2\,\vec{\imath} - \vec{\jmath} - \vec{k} \end{array} \right| \end{array} \begin{array}{l} \vec{v}^A = -10\,\vec{\imath} + 10\,\vec{\jmath} \\ \\ \vec{v}^B = -20\,\vec{\imath} + 20\,\vec{\jmath} \\ \\ \vec{v}^C = -10\,\vec{\imath} \end{array}$

Tenemos

$\begin{array}{lclcl} \vec{v}^A\cdot\overrightarrow{AB} = -10+10=0 & \qquad & \vec{v}^B\cdot\overrightarrow{AB} = -20+20=0 &\qquad & \mathrm{OK} \\ &&& \\ \vec{v}^A\cdot\overrightarrow{AC} = 10 & \qquad & \vec{v}^C\cdot\overrightarrow{AC} = 10 &\qquad & \mathrm{OK} \\ &&& \\ \vec{v}^B\cdot\overrightarrow{BC} = 40-20=20 & \qquad & \vec{v}^C\cdot\overrightarrow{BC} = 20 &\qquad & \mathrm{OK} \end{array}$

Claramente no es una traslación, pues las velocidades no son iguales. Vamos entonces a calcular la velocidad angular. Para ellos usamos la ecuación del campo de velocidades para relacionar las velocidades en dos pares de puntos.

$\vec{v}^B-\vec{v}^A = \vec{\omega}\times\overrightarrow{AB}$

Tenemos

$\vec{v}^B-\vec{v}^A = -10\,\vec{\imath} + 10\,\vec{\jmath}$

y por otro lado

$\left| \begin{array}{ccc} \vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ && \\ \omega_x & \omega_y & \omega_z \\ && \\ 1 & 1 & 1 \end{array} \right| = (\omega_y-\omega_z)\,\vec{\imath} + (\omega_z-\omega_x)\,\vec{\jmath} + (\omega_x-\omega_y)\,\vec{k}$

Igualando las componentes tenemos

$\begin{array}{l} \omega_y-\omega_z = -10 \\ \\ \omega_z-\omega_x = 10 \\ \\ \omega_x-\omega_y = 0 \end{array}$

Ahora usamos los puntos $A$ y $C$ de modo similar

$\vec{v}^C-\vec{v}^A = \vec{\omega}\times\overrightarrow{AC}$

Tenemos

$\vec{v}^C-\vec{v}^A = -10\,\vec{\jmath}$

y por otro lado

$\left| \begin{array}{ccc} \vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ && \\ \omega_x & \omega_y & \omega_z \\ && \\ -1 & 0 & 0 \end{array} \right| = (\omega_y-\omega_z)\,\vec{\imath} + (\omega_z-\omega_x)\,\vec{\jmath} + (\omega_x-\omega_y)\,\vec{k}$