Ejemplo paramétrico de movimiento plano

De Laplace

Revisión a fecha de 17:46 16 dic 2010; Antonio (Discusión | contribuciones)

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Contenido

1 Enunciado
2 Velocidad y aceleración
- 2.1 Velocidad
  - 2.1.1 Empleando el sistema de referencia “1”
3 CIR en el sistema “1”
4 CIR en el sistema “2”

1 Enunciado

La escuadra $O 2 X 2 Y 2$ (sólido “2”) se mueve respecto a la escuadra $O 1 X 1 Y 1$ (sólido “1”) de forma que su origen de coordenadas, $O 2$ , verifica la ecuación paramétrica

$\overrightarrow{O_1O_2} =A(\cos(\theta)+\theta \,\mathrm{sen}(\theta))\vec{\imath}_1 + A(\mathrm{sen}(\theta)-\theta \cos(\theta))\vec{\jmath}_1$

siendo $θ = θ(t)$ el ángulo que el eje $O 2 X 2$ forma con el $O 1 X 1$ .

Calcule la velocidad y la aceleración instantáneas del punto $O 1$ en el movimiento {21}: $\vec{v}^{O_1}_{21}$ y $\vec{a}^{O_1}_{21}$ .
Determine la posición del CIR $I 21$ y exprésela empleando el sistema de referencia ligado al sólido “1”.
Exprese la posición del mismo punto $I 21$ en el sistema de referencia ligado al sólido “2”.

2 Velocidad y aceleración

2.1 Velocidad

La velocidad del punto $O 1$ , como parte del sólido “2” respecto al “1”, $\vec{v}^{O_1}_{21}$ , puede calcularse de diferentes formas.

2.1.1 Empleando el sistema de referencia “1”

Debemos hallar la velocidad cuya posición no conocemos en todo instante. El punto cuya posición sí conocemos y podemos derivar es $O 2$ . Por ello, debemos usar la expresión del campo de velocidades

$\vec{v}^{O_1}_{21}=\vec{v}^{O_2}_{21} + \omega_{21}\vec{k}\times\overrightarrow{O_2O_1}$

Veamos cada término por separado.

La velocidad de

O 2

en el movimiento {21} sí puede hallarse derivando respecto al tiempo, por aplicación de la regla de la cadena. $\vec{v}^{O_2}_{21}=\left.\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\overrightarrow{O_1O_2}\right|_1=A\dot{\theta}\theta\left(\cos(\theta)ºvec{\imath}_1+\mathrm{sen}(\theta)\vec{\jmath}_1\right)$

La velocidad angular es inmediata, puesto que conocemos el ángulo que forman los ejes $O X 1$ y $O X 2$

$\vec{\omega}_{21}=\dot{\theta}\vec{k}$

El vector de posición relativo es el opuesto al que aparece en el enunciado

$\overrightarrow{O_1O_2}=-\overrightarrow{O_1O_2} =-A(\cos(\theta)+\theta \,\mathrm{sen}(\theta))\vec{\imath}_1 - A(\mathrm{sen}(\theta)-\theta \cos(\theta))\vec{\jmath}_1$

Reuniendo todo esto obtenemos la velocidad del punto $O 1$

No se pudo entender (Falta el ejecutable de <strong>texvc</strong>. Por favor, lea <em>math/README</em> para configurarlo.): \vec{v}^{O_1}_{21}=}=\vec{v}^{O_2}_{21} + \omega_{21}\vec{k}\times\overrightarrow{O_2O_1}=A\dot{\theta}\left(\mathrm{sen}(\theta)\vec{\imath}_1-\cos(\theta)\vec{\jmath}_1\right)

3 CIR en el sistema “1”

4 CIR en el sistema “2”

Ejemplo paramétrico de movimiento plano

De Laplace

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1 Enunciado

2 Velocidad y aceleración

2.1 Velocidad

2.1.1 Empleando el sistema de referencia “1”

3 CIR en el sistema “1”

4 CIR en el sistema “2”

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