Campos equiproyectivos y campo de momentos

De Laplace

1 Enunciado del teorema

Un campo vectorial es equiproyectivo sí y solo sí es un campo de momentos de un vector deslizante.

2 Demostración

2.1 Campo equiproyectivo implica campo de momentos

La condición de equiproyectividad para un campo vectorial puede expresarse como que para cualesquiera dos puntos y se verifica

se trata de demostrar que si se cumple esta condición, puede escribirse en la forma

Para demostrarlo, suponemos un sistema de referencia con origen en el punto y cuyos ejes vienen caracterizados por los vectores unitarios , y .

2.1.1 Referencia al origen

Definamos en primer lugar el campo, también equiproyectivo

Este campo cumple

2.1.2 Equiproyectividad aplicada a , y

Si aplicamos la condición de equiproyectividad de a los dos puntos y nos queda

esto quiere decir que es ortogonal a , esto es, no posee componente X y puede escribirse como

Aplicando el mismo razonamiento a y a nos queda

    

2.1.3 Equiproyectividad aplicada a , y

La condición de equiproyectividad también puede aplicarse al par de puntos y . En este caso tenemos

No se pudo entender (Falta el ejecutable de <strong>texvc</strong>. Por favor, lea <em>math/README</em> para configurarlo.): \vec{u}(\vec{\imath})\cdot\left(\vec{\imath}-\vec{\jmath}) = \vec{u}(\vec{\jmath})\cdot\left(\vec{\imath}-\vec{\jmath})       

Operando igualmente con los otros dos pares nos queda

Si llamamos

el valor de en , y se escribe

    \vec{u}(\vec{\jmath}) = -\omega_z\vec{\imath}+\omega_x\vec{k}</math>    \vec{u}(\vec{k}) = \omega_y\vec{\imath}-\omega_x\vec{\jmath}</math>

2.2 Campo de momentos implica campo equiproyectivo