Corteza esférica conductora con distribución concéntrica

De Laplace

Revisión a fecha de 13:44 4 dic 2010; Gabriel (Discusión | contribuciones)

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Contenido

1 Enunciado
2 Solución
- 2.1 Corteza conductora aislada y descargada
  - 2.1.1 Distribuciones de carga eléctrica en el sistema
  - 2.1.2 Campo eléctrico en el sistema

1 Enunciado

Una corteza conductora esférica cuyos radios interior y exterior valen

3 a

y

6 a

respectivamente, es concéntrica con una esfera de radio

2 a

cargada uniformemente en volumen con una densidad de carga

ρ 0

.

Para el caso de que la corteza esté aislada y descargada, obtenga la expresión del campo eléctrico en todo el espacio, así como las densidades de carga en la corteza conductora.
Si el conductor se conecta a tierra, ¿cuál es la nueva expresión del campo en todo el espacio? ¿Cuál es ahora la distribución de carga en el conductor?
¿Qué cambio experimenta la energía electrostática del sistema al pasar de la situación del apartado (a) a la del apartado (b)?

2 Solución

2.1 Corteza conductora aislada y descargada

2.1.1 Distribuciones de carga eléctrica en el sistema

Si la corteza conductora se encuentra en equilibrio eléctrostático, sólo puede haber distribuciones netas de carga eléctrica en las superficies que la delimitan; es decir, en

$\Sigma_\mathrm{C}^\mathrm{int}: r=3a\mathrm{;}\qquad \qquad\Sigma_\mathrm{C}^\mathrm{ext}: r=6a$ ;

que son superficies descritas en coordenadas esféricas, tomando el centro de simetría del sistema (punto $O$ ) como origen del sistema de referencia. En consecuencia, la única distribución volumétrica presente en el sistema es la densidad uniforme $ρ 0$ que hay en $r < 2 a$ :

$\rho_e(\mathbf{r})=\begin{cases} \rho_0\mathrm{;}& r<2a\\ \\ 0&r>2a \end{cases}$

La cantidad total de carga de esta distribución es:

$Q=\int_{r<2a}\!\! \rho_0 \mathrm{d}\tau\quad\longrightarrow$ $\quad Q=\frac{4}{3}\pi\rho_0\left(2a\right)^3=\frac{32}{3}\ \pi\rho\ a^3$

Esta carga en el hueco $r < 3 a$ , induce una cantidad de carga opuesta $- Q$ en la cara interior de la corteza conductora para que se verifique la condición necesaria de campo eléctrico nulo en el conductor. Como la carga $Q$ está distribuida uniformemente y produce un campo eléctrico radial, la carga en la superficie $\Sigma_\mathrm{C}^\mathrm{int}: r=3a$ se distribuirá también uniformemente. Por otra parte, como el conductor está aislado y descargado, su cantidad total de carga debe ser nula. Si llamamos $Q_\mathrm{C}^\mathrm{int}$ y $Q_\mathrm{C}^\mathrm{ext}$ a las cantidades de carga distribuidas en las caras interior y exterior de la corteza conductora, se tendrá:

$Q_\mathrm{C}^\mathrm{int}+Q_\mathrm{C}^\mathrm{ext}=0\quad \Longrightarrow\quad$ $Q_\mathrm{C}^\mathrm{ext}=-Q_\mathrm{C}^\mathrm{int}=Q$

También la carga $Q$ se distribuirá uniformemente en la superficie exterior de la corteza $\Sigma_\mathrm{C}^\mathrm{ext}$ , ya que ésta tiene simetría esférica y no hay otras cargas exteriores que pudiesen alterar dicha distribución. Por tanto, se tendrá que la distribución de cargas superficiales en el sistema es:

$\sigma_e(\mathbf{r})=\begin{cases}\displaystyle \sigma_\mathrm{C}^\mathrm{int}=-\frac{Q}{4\pi\left(3a\right)^2}=-\frac{8}{27}\ \rho_0\ a\mathrm{;}& r=3a\\ \\ \displaystyle\sigma_\mathrm{C}^\mathrm{ext}=\frac{Q}{4\pi\left(6a\right)^2}=-\frac{2}{27}\ \rho_0\ a\mathrm{;}&r=6a \end{cases}$

2.1.2 Campo eléctrico en el sistema

Para determinar la distribución del campo eléctrico aplicaremos la ley de Gauss:

$\oint_{\partial\tau}\!\!\mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}=\frac{1}{\varepsilon_0}\ q|_\tau$

donde $q | τ$ es la cantidad total de carga que hay dentro de la superficie $\partial\tau$ . Como las distribuciones de carga estática determinadas anteriormente presentan todas simetría esférica, el campo eléctrico que producen es radial. Evaluando la ley de Gauss en una superficie esférica $\partial\tau$ de radio $r$ arbitrario y centrada en el punto $O$ , se tendrá:

$\mathbf{E}(\mathbf{r})=E(r)\mathbf{u}_r$ $\Rightarrow$ $\oint_{\partial\tau:\ r\,\mathrm{cte.}\,}\!\!\!\!\mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}=4\pi r^2 E(r)$

La cantidad de carga dentro de $\partial\tau$ depende de su radio, de manera que obtendremos distintas expresiones del campo en las diferentes regiones que se distinguen en el sistema:

$q|_\tau=q(r)=\begin{cases}\displaystyle \frac{4}{3}\pi\rho_0r^3\,\mathrm{;}\,&\mathrm{si}\quad 0<r<2a\\ \\ Q\,\mathrm{;}&\mathrm{si}\quad 2a<r<3a\\ \\ Q+Q_\mathrm{C}^\mathrm{int}=0\mathrm{;}&\mathrm{si}\quad 3a<r<6a\\ \\ \\ Q+Q_\mathrm{C}^\mathrm{int}+Q_\mathrm{C}^\mathrm{ext}=Q\mathrm{;}&\mathrm{si}\quad 6a<r\end{cases}$ $\Rightarrow$

$\mathbf{E} (\mathbf{r})=\begin{cases}\displaystyle \frac{\rho_0}{3\varepsilon_0}\ \mathbf{r}\ \mathrm{;}&\mathrm{si}\quad 0<r<2a\\ \displaystyle \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\ \frac{\mathbf{r}}{r^3}\ \mathrm{;}&\mathrm{si}\quad 2a<r<3a\\ \mathbf{0}\mathrm{;}&\mathrm{si}\quad 3a<r<6a\\ \displaystyle \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\ \frac{\mathbf{r}}{r^3}\ \mathrm{;}&\mathrm{si}\quad 6a<r\end{cases}$

Y aplicando ahora la ley de Gauss se obtiene la expresión del campo eléctrico en todo el espacio:

Corteza esférica conductora con distribución concéntrica

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2 Solución

2.1 Corteza conductora aislada y descargada

2.1.1 Distribuciones de carga eléctrica en el sistema

2.1.2 Campo eléctrico en el sistema

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