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Movimiento plano (G.I.T.I.)

De Laplace

Contenido

1 Definición de movimiento plano

De entre los posibles movimientos de un sólido rígido, se dice que un sólido “2” realiza un movimiento plano respecto a un sólido “1” si los desplazamientos de todos sus puntos son permanentemente paralelos a un plano fijo en el sistema de referencia ligado al sólido 1. Este plano se denomina plano director, ΠD del movimiento plano. Cualquier plano paralelo a un plano director del movimiento {21} es también un plano director de dicho movimiento.

Así, por ejemplo, el movimiento que realiza el chasis de un coche, respecto a la calzada por la que éste circula, es un movimiento plano.

También lo es el movimiento de una de sus ruedas cuando el coche avanza en línea recta. Sin embargo, en ese caso, el plano director no es el plano de la calzada, sino uno perpendicular a ella.

Matemáticamente tenemos que, para todo punto del sólido debe cumplirse en todo instante que

\vec{v}^P_{21}\cdot\vec{k}=0\qquad\forall t,\ \forall P

Siendo \vec{k} un vector constante, unitario y normal al plano director. Siempre podemos tomar el sistema de referencia ligado al sólido 1 de tal forma que el vector normal vaya en la dirección del eje OZ (o cualquier otra dirección fija que nos convenga)

Un movimiento plano de un sólido satisface, entre otras, las siguientes propiedades:

Las velocidades de todos los puntos del sólidos se encuentran contenidas en planos paralelos
Es la condición definitoria del movimiento plano.
Las aceleraciones de todos los puntos se siempre paralelas al plano director
Puesto que la identidad anterior se cumple en cada instante, podemos derivar en ella respecto al tiempo
0 = \left.\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d}t}(\vec{v}^P_{21}\cdot\vec{k})\right|_1=\left.\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d}t}(\vec{v}^P_{21})\right|_1\cdot\vec{k} = \vec{a}^P_{21}\cdot\vec{k}
La trayectoria de cada uno de los puntos es plana
Puesto que la velocidad y la aceleración de cada punto son tangentes al plano director, el vector binormal de cada trayectoria es siempre perpendicular al plano y por tanto constante.
La velocidad angular del movimiento {21} es perpendicular al plano director (o nula)
Por tratarse de un movimiento rígido, para cualesquiera dos puntos del sólido 2 se cumple
\vec{v}^Q_{21}=\vec{v}^P_{21}+\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{PQ}
Multiplicando aquí escalarmente por el vector normal al plano director
\vec{k}\cdot\vec{v}^Q_{21}=\vec{k}\cdot\vec{v}^P_{21}+\vec{k}\cdot(\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{PQ})   \Rightarrow    0 = 0 + (\vec{k}\times\vec{\omega}_{21})\cdot\overrightarrow{PQ}
Puesto que esta identidad debe cumplirse para cualquier par de puntos, la única posibilidad es que
\vec{k}\times\vec{\omega}_{21}=\vec{0}\qquad\Rightarrow\qquad\begin{cases} \vec{\omega}_{21}=\vec{0} & \\ \mbox{ o } & \\ \vec{\omega}_{21}\parallel\vec{k} &\end{cases}\qquad\Rightarrow\qquad\vec{\omega}_{21}=\omega_{21}\vec{k}
La aceleración angular del movimiento {21} es perpendicular al plano director
Es consecuencia inmediata de que la velocidad angular posea dirección constante
\vec{\alpha}_{21}=\left.\frac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{21}}{\mathrm{d}t}\right|=\frac{\mathrm{d}\omega_{21}}{\mathrm{d}t}\vec{k}=\alpha_{21}\vec{k}
El movimiento instantáneo {21} es de reposo, traslación o rotación, pero no helicoidal
Si \vec{\omega}_{21}=\vec{0} entonces el movimiento {21} es un estado de reposo o es una traslación.
Si la velocidad angular no es nula, la velocidad de deslizamiento vale 0
v_d = \frac{\vec{v}^P_{21}\cdot\vec{\omega}_{21}}{|\vec{\omega}_{21}|}=\vec{v}^P_{21}\cdot\vec{k}=0
y por tanto en ese caso el movimiento es una rotación.
Un movimiento plano tiene tres grados de libertad
Un movimiento rígido general tiene 6 grados de libertad, especificados por las tres componentes de la velocidad angular y las tres componentes de la velocidad de un punto. En un movimiento plano, la velocidad angular tiene una sola componente que puede variar, la normal al plano, y la velocidad de un punto tiene dos, tangentes al mismo plano
\vec{\omega}_{21}=\omega_{21}\vec{k}        \vec{v}^O_{21}=v^O_x\vec{\imath}+v^O_y\vec{\jmath}
Las especificación de esos 3 valores determina completamente el movimiento del sólido, que por tanto tiene 3 grados de libertad. En términos de variables, un movimiento plano queda descrito por la evolución temporal de dos coordenadas de un punto y del ángulo que forman los ejes de los triedros “2” y “1”.
Las distribuciones de velocidades en planos paralelos al plano director son idénticas entre sí
Si el movimiento es una traslación, evidentemente las distribuciones son idénticas, ya que todos los puntos tienen la misma velocidad.
Si se trata de una rotación, el eje instantáneo de rotación es perpendicular al plano director, y por tanto, las distribuciones de las velocidades en planos perpendiculares a este eje (y paralelos al plano director) son idénticas.
Esto quiere decir que para estudiar el movimiento plano basta con considerar lo que ocurre en uno de sus planos paralelos al plano director. Esto no implica que el sólido sea cilíndrico (esto es, que el sólido real no tiene por qué tener la misma forma en todos los planos paralelos al director).
Las distribuciones de aceleraciones en planos paralelos al plano director son idénticas entre sí
Si tenemos puntos P y Q situados sobre la misma recta normal al plano director,
\overrightarrow{PQ}=b\vec{k}\qquad\vec{a}^Q_{21}=\vec{a}^P_{21}+\overbrace{\vec{\alpha}_{21}\times\overrightarrow{PQ}}^{=\vec{0}}+\vec{\omega}_{21}\times(\overbrace{\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{PQ}}^{=\vec{0}})=\vec{a}^P_{21}

2 Centro instantáneo de rotación (C.I.R.)

2.1 Definición

En el caso de que el movimiento {21} consista en una rotación, se define el centro instantáneo de rotación (CIR) del movimiento plano {21}, I21, como el punto de intersección del eje instantáneo de rotación con el plano director de dicho movimiento.

Hay que destacar que, en general, el CIR representa un punto material del sólido “2” diferente en cada instante. Lo mismo ocurre con el sólido “1”: el CIR I21 coincide con un punto material diferente en cada instante.

Consideremos, por ejemplo, el caso de un disco “2” que rueda sin deslizar sobre una superficie horizontal “1”. Es éste un movimiento plano, sino el plano director uno normal a la superficie horizontal y paralelo a la superficie del disco. El EIR del movimiento {21} es una recta tangente al plano horizontal y que pasa por el punto de contacto del disco con el suelo. El CIR I21 en cada instante será el punto de contacto del disco con el suelo. Sin embargo, no hay ningún átomo del disco ni del suelo que coincida en todo momento con el CIR, sino que es uno diferente en cada instante.

Archivo:Cicloide-rotacion.gif

En el caso de un movimiento de traslación, el centro instantáneo de rotación no corresponde a ningún punto del espacio, ya que no hay eje instantáneo de rotación. No obstante, puede considerarse un movimiento de traslación como un límite de movimientos de rotación con radios cada vez más grandes. Definiendo el CIR para un movimiento de traslación según este criterio, se encontraría en un punto del infinito, en la dirección dada por la perpendicular a la velocidad instantánea de traslación.

2.2 Propiedades

La velocidad del CIR es cada instante es nula
Es consecuencia de que el CIR pertenezca al eje instantáneo de rotación.
\vec{v}^{I_{21}}_{21}=\vec{0}
Esto no implica que la aceleración del CIR sea nula. Puesto que I21 corresponde a un punto material distinto en cada instante, el valor de su velocidad no puede derivarse para obtener la aceleración. Podremos obtener, eso sí, la aceleración del punto material correspondiente empleando la expresión general del campo de aceleraciones. Así, para el caso de una rueda, la aceleración del punto de contacto con el suelo es radial y dirigida hacia el centro del disco.
La posición del CIR del movimiento {12} coincide con la del {21}
Por la fórmula de composición de velocidades
\vec{v}^{I_{21}}_{12}=-\vec{v}^{I_{21}}_{21}=\vec{0}   \Rightarrow   I21 = I12\,
Por ello, se puede hablar indistintamente del CIR del movimiento {21} o del {12} sin importar el orden en que se enumeran los dos sólidos.
La distribución de velocidades posee simetría rotacional alrededor del CIR
De nuevo, es consecuencia de que se encuentre en el EIR:
Archivo:Rotacion-pura-cenital.png

2.3 Determinación del CIR

En el caso de una rotación, la posición del CIR de un movimiento puede hallarse analíticamente particularizando la fórmula de cálculo del EIRMD. Si A es un punto del plano director, con velocidad \vec{v}^A_{21}, y \vec{\omega}_{21} es la velocidad angular del movimiento, la posición relativa del CIR es

\overrightarrow{AI}=\frac{\vec{\omega}_{21}\times\vec{v}^A_{21}}{\omega_{21}^2}=\frac{\vec{k}\times\vec{v}^A_{21}}{\omega_{21}}

Vemos que efectivamente, cuando \omega_{21}\to 0 y el movimiento se reduce a una traslación, la posición del CIR se va al infinito según una dirección perpendicular a la velocidad de traslación.

Si no se conoce la velocidad angular, sino la velocidad de dos puntos, A y B, del plano director, puede hallarse la velocidad angular a partir de la relación general

\vec{v}^B_{21}-\vec{v}^A_{21}=\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{AB}=\omega_{21}(\vec{k}\times\overrightarrow{AB})

y de aquí resulta, proyectando y despejando

\omega_{21}=\frac{(\overrightarrow{AB}\times(\vec{v}^B_{21}-\vec{v}^A_{21}))\cdot\vec{k}}{|\overrightarrow{AB}|^2}

Sustituyendo en la expresión de arriba, obtenemos la posición relativa del CIR respecto al punto A.

2.3.1 Caso de un rotación

Para determinar la posición del CIR de un movimiento {21} a partir de las velocidades de los puntos del sólido “2”, nos basta con conocer las velocidades de dos puntos.

Caso de dos velocidades no paralelas
Si, dadas las velocidades de

2.3.2 Caso de una traslación

3 Teorema de los tres centros

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