Coordenadas polares

De Laplace

Revisión a fecha de 11:25 23 nov 2010; Pedro (Discusión | contribuciones)

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1 Definición

En el caso del movimiento bidimensional de un punto material resulta útil en muchas ocasiones trabajar con coordenadas polares. Usaremos la figura para definirlas.

Sea un punto $P$ situado en el plano $O X Y$ con coordenadas cartesianas $(x, y)$ . Su vector de posición respecto al origen del sistema de referencia es

$\vec{r} = \overrightarrow{OP}$

Las coordenadas polares $(ρ,θ)$ se definen de la siguiente forma

La coordenada $ρ$ es la distancia del punto $P$ al punto $O$ . Puede variar entre los valores 0 y $\infty$ .
La coordenada $θ$ es el ángulo que forma el vector $\vec{r}$ con el eje $O X$ . Puede variar entre los valores 0 y $2π$ .

Estas dos coordenadas permiten describir de forma unívoca la posición de cualquier punto en el plano $O X Y$ .

$\begin{array}{ccc} P(\rho,\theta)\qquad\qquad & \rho\in[0,\infty)\qquad\qquad & \theta\in[0,2\pi) \end{array}$

El intervalo para $θ$ es abierto a la derecha para evitar llegar al valor de $2π$ . De lo contrario, los puntos del eje $O X$ aparecerían dos veces, para $θ = 0$ y para $θ = 2π$ .

2 Relación con las coordenadas cartesianas

Cada par de valores $(x, y)$ corresponde unívocamente a un par de valores $ρ,θ$ . La relación entre estos dos pares puede obtenerse a partir de la figura. Teniendo en cuenta el triángulo rectángulo formado por los catetos de longitud $x$ e $y$ y la hipotenusa de longitud $ρ$ tenemos

Polares → cartesianas	Cartesianas → polares
$x = \rho\,\cos\theta$	$\rho=\sqrt{x^2+y^2}$
$y = \rho\,\mathrm{sen}\,\theta$	$θ = arctan(y / x)$

3 Base vectorial en polares

Al igual que el sistema de coordenadas cartesianas, las coordenadas polares llevan asociada una base vectorial. Esta base la componen los vectores unitarios $\{\vec{u}_{\rho},\vec{u}_{\theta} \}$ pintados en verde en la figura.

El vector $\vec{u}_{\rho}$ apunta en la dirección y sentido en que nos movemos si variamos la coordenada $ρ$ manteniendo $θ$ constante. Si $ρ$ aumenta nos alejamos radialmente del punto $O$ , y si disminuye nos dirigimos hacia $O$ .

De igual modo, el vector $\vec{u}_{\theta}$ apunta en la dirección y sentido en que nos movemos si varía $θ$ manteniendo $ρ$ constante. Si $θ$ aumenta nos desplazamos sobre la tangente a la circunferencia de radio $ρ$ centrada en $O$ , en sentido contrario a las agujas del reloj. Si $θ$ disminuye el sentido del desplazamiento es el de las agujas del reloj.

Usando los ángulos indicados en la figura podemos expresar los vectores de la base polar en función de los vectores de la base cartesiana

$\begin{array}{l} \vec{u}_{\rho} = \cos\theta\,\vec{\imath} + \mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath}\\ \\ \vec{u}_{\theta} = -\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath} + \cos\theta\,\vec{\jmath} \end{array}$

Hay que destacar que, a diferencia de los vectores de la base cartesiana, los vectores de la base polar no son constantes. Esto quiere decir que varían en dirección y sentido al cambiar de punto en el plano. Algunos ejemplos

$θ$	$\vec{u}_{\rho}$	$\vec{u}_{\theta}$
0	$\vec{\imath}$	$\vec{\jmath}$
$π / 4$	$\dfrac{1}{\sqrt{2}}\vec{\imath} + \dfrac{1}{\sqrt{2}}\vec{\jmath}$	$-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\vec{\imath} + \dfrac{1}{\sqrt{2}}\vec{\jmath}$
$π / 2$	$\vec{\jmath}$	$-\vec{\imath}$

Podemos obtener la expresión de los vectores de la base cartesiana en función de la base polar proyectando en la primera figura o despejando en la expresión de los vectores polares en función de los cartesianos. Así

$\begin{array}{l} \vec{\imath} = \cos\theta\,\vec{u}_{\rho} - \mathrm{sen}\,\theta\,\vec{u}_{\theta} \\ \\ \vec{\jmath} = \mathrm{sen}\,\theta\,\vec{u}_{\rho} + \cos\theta\,\vec{u}_{\theta} \end{array}$

Coordenadas polares

De Laplace

1 Definición

2 Relación con las coordenadas cartesianas

3 Base vectorial en polares

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