5.2. Movimiento relativo en un sistema biela-manivela

De Laplace

Revisión a fecha de 01:01 23 nov 2010; Antonio (Discusión | contribuciones)

(dif) ← Revisión anterior | Revisión actual (dif) | Revisión siguiente → (dif)

Contenido

1 Enunciado
2 Velocidades
3 Aceleraciones

1 Enunciado

Se tiene un sistema biela-manivela formado por dos barras de longitud $L=50\,\mathrm{cm}$ . La manivela (sólido “0”) gira alrededor de un punto O, extremo de una barra (sólido $1$ ) que podemos considerar fija. La biela (sólido “2”) está articulada a la manivela en un punto A, mientras que su otro extremo B está obligado a deslizar sobre la barra “1”.

En un instante dado la manivela forma con la barra un ángulo tal que $tg(θ) = 4 / 3$ . En el mismo instante las derivadas de este ángulo valen $\dot{\theta}=3\,\mathrm{rad}/s$ , $\ddot{\theta}=12\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}^2$ . Para este instante:

Calcule las velocidades $\vec{v}^B_{21}$ , $\vec{v}^B_{20}$ y $\vec{v}^B_{01}$ . Indique su dirección y sentido gráficamente.
Halle las aceleraciones $\vec{a}^B_{21}$ , $\vec{a}^B_{20}$ y $\vec{a}^B_{01}$ .

2 Velocidades

2.1 Absoluta

Desde el punto del vista del sólido 1, el punto B realiza un movimiento en una dimensión a lo largo de la barra.

La posición en cada instante corresponde a la base de un triángulo isósceles. Empleando una base ligada al sólido 1, según los ejes indicados en la figura

$\overrightarrow{OB}=2L\cos(\theta)\vec{\imath}_1$

Derivando esta posición respecto al tiempo obtenemos la velocidad absoluta del punto B

$\vec{v}^B_{21}=-2L\dot{\theta}\,\mathrm{sen}(\theta)\vec{\imath}_1$

Sustituyendo los valores numéricos tenemos, para las razones trigonométricas en el instante fijado,

$\mathrm{tg}(\theta)=\frac{4}{3}\qquad\Rightarrow\qquad\cos(\theta)=\frac{3}{5}\qquad\qquad\mathrm{sen}(\theta)=\frac{4}{5}$

y de aquí

$\vec{v}^B_{21} = -2(0.5\,\mathrm{m})(3\,\mathrm{rad}/\mathrm{s})\frac{4}{5}=-2.4\,\vec{\imath}_1\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$

Esta velocidad puede también obtenerse como suma de la de arrastre más la relativa.

2.2 Arrastre

La velocidad de arrastre, $\vec{v}^B_{01}$ , es la que tendría el punto B si perteneciera al sólido 0, medida desde el sólido 1. El sólido 0 realiza una rotación pura en torno a un eje perpendicular al plano del sistema y que pasa por el punto de articulación

$\vec{v}^B_{01} = \vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OB}$

La velocidad angular de este movimiento la da la variación del ángulo $θ$ con el tiempo

$\vec{\omega}=\dot{\theta}\vec{k}_1$

siendo la posición del punto B

$\overrightarrow{OB}=2L\cos(\theta)\vec{\imath}_0$

lo que nos da la velocidad de arrastre

$\vec{v}^B_{01}=\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OB}=\left|\begin{matrix}\vec{\imath}_1 & \vec{\jmath}_1 & \vec{k}_1 \\ 0 & 0 & \dot{\theta}\\ 2L\cos(\theta) & 0 & 0\end{matrix}\right| = 2L\dot{\theta}\cos(\theta)\vec{\jmath}_1$

Sustituyendo los valores numéricos

$\vec{v}^B_{21}=2(0.50\,\mathrm{m})(3\,\mathrm{rad}/\mathrm{s})\frac{3}{5}\vec{\jmath}_1 = 1.8\vec{\jmath}_1\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$

2.3 Relativa

La velocidad relativa $\vec{v}^B_{20}$ es la que tiene el punto B, como parte del sólido 2, respecto al sólido intermedio 0, que en este caso es la manivela.

En este caso, el movimiento es uno de rotación en torno a un eje perpendicular al plano del movimiento y que pasa por la articulación A

$\vec{v}^B_{20}=\vec{\omega}_{20}\times\overrightarrow{AB}$

El vector de posición relativo, empleando de nuevo ejes ligados al sistema 1, es

$\overrightarrow{AB}=L\cos(\theta)\vec{\imath}_1-L\,\mathrm{sen}(\theta)\vec{\jmath}_1$

La velocidad angular es perpendicular al plano del movimiento

$\vec{\omega}_{20}=\omega_{20}\vec{k}_1$

El valor de $ω 20$ nos es desconocido por ahora.

La velocidad relativa de B es entonces

$\vec{v}^B_{20}=\left|\begin{matrix}\vec{\imath}_1 & \vec{\jmath}_1 & \vec{k}_1 \\ 0 & 0 & \omega_{20} \\ L\cos(\theta) & -L\,\mathrm{sen}(\theta) & 0 \end{matrix}\right| = \omega_{20}L\,\mathrm{sen}(\theta)\vec{\imath}_1 +\omega_{20}L\cos(\theta)\vec{\jmath}_1$

El valor de $ω 20$ lo podemos obtener de que la velocidad absoluta debe ser suma de la relativa más la de arrastre.

$\vec{v}^B_{21}=\vec{v}^B_{20}+\vec{v}^B_{01}$

Sustituyendo lo que ya conocemos

$-2L\dot{\theta}\,\mathrm{sen}(\theta)= (\omega_{20}L\,\mathrm{sen}(\theta)\vec{\imath}_1 +\omega_{20}L\cos(\theta)\vec{\jmath}_1)+2L\dot{\theta}\cos(\theta)\vec{\jmath}_1$

Igualando componente a componente

$\left\{\begin{array}{rcl} -2L\dot{\theta}\,\mathrm{sen}(\theta) & = & \omega_{20}L\,\mathrm{sen}(\theta) \\ 0 & = & \omega_{20}L\cos(\theta)+2L\dot{\theta}\cos(\theta)\end{array}\right.$

Cualquiera de las dos ecuaciones conduce a

$\omega_{20}=-2\dot{\theta}$

A este resultado también se puede llegar por razonamientos puramente geométricos.

La velocidad angular relativa y la velocidad relativa del punto B son entonces

$\vec{\omega}_{20}=-2\dot{\theta}\vec{k}_1$ $\vec{v}^B_{20}=-2L\dot{\theta}\,\mathrm{sen}(\theta)\vec{\imath}_1 -2\dot{\theta}L\cos(\theta)\vec{\jmath}_1$

El valor numérico de la velocidad relativa es

$\vec{v}^B_{20}=(-2.4\vec{\imath}_1-1.8\vec{\jmath}_1)\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$

2.4 Representación gráfica

Las tres velocidades poseen una sencilla interpretación geométrica:

Velocidad absoluta, $\vec{v}^B_{21}$: Por tratarse de un movimiento unidimensional, la velocidad absoluta de B va en la dirección de la recta de movimiento, que es la de la barra fija.
Velocidad relativa, $\vec{v}^B_{20}$: Al ser una rotación en torno a un eje que pasa por A, esta velocidad es perpendicular al vector de posición relativo $\overrightarrow{AB}$
Velocidad de arrastre, $\vec{v}^B_{01}$: Se trata de otra rotación, esta vez en torno a un eje que pasa por O. El vector velocidad es perpendicular al vector de posición $\overrightarrow{OB}$ , esto es, es normal a la barra.

3 Aceleraciones

3.1 Arrastre

La aceleración de arrastre, $\vec{a}^B_{01}$ es la que tendría el punto B si perteneciera al sólido intermedio “0”.

Empleamos la expresión del campo de aceleraciones de un sólido:

$\vec{a}^B_{01}=\vec{a}^O_{01}+\vec{\alpha}_{01}\times\overrightarrow{OB}+\vec{\omega}_{01}\times(\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OB})$

La aceleración del punto O en el movimiento {01} es nula, por ser éste un punto fijo.

$\vec{a}^O_{01}=\vec{0}$

La aceleración angular es igual a

$\vec{\alpha}_{01}=\frac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{01}}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}(\dot{\theta}\vec{k}_1) = \ddot{\theta}\vec{k}_1$

El término debido a esta aceleración vale

$\vec{\alpha}_{01}\times\overrightarrow{OB}=\left|\begin{matrix}\vec{\imath}_1 & \vec{\jmath}_1 & \vec{k}_1 \\ 0 & 0 & \ddot{\theta} \\ 2L\cos(\theta)& 0 & 0 \end{matrix}\right|=2L\ddot{\theta}\cos(\theta)\vec{\jmath}_1$

El último término se simplifica desarrollando el doble producto vectorial

$\vec{\omega}_{01}\times(\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OB})=\overbrace{(\vec{\omega}_{01}\cdot\overrightarrow{OB})}^{=0} \vec{\omega}_{01}-\omega_{01}^2\overrightarrow{OB}=-2L\dot{\theta}^2\cos(\theta)\vec{\imath}_1$

Sumando los tres términos hallamos la aceleración de arrastre

$\vec{a}^B_{01}=-2L\dot{\theta}^2\cos(\theta)\vec{\imath}_1+2L\ddot{\theta}\cos(\theta)\vec{\jmath}_1$

Sustituyendo los valores numéricos

$\vec{a}^B_{01}=(-5.4\vec{\imath}_1+7.2\vec{\jmath}_1)\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}$

3.2 Relativa

Para la aceleración relativa $\vec{a}^B_{20}$ empleamos la misma técnica teniendo en cuenta que se trata de una rotación alrededor de A.

$\vec{a}^B_{20}=\vec{a}^A_{20}+\vec{\alpha}_{20}\times\overrightarrow{AB}+\vec{\omega}_{20}\times(\vec{\omega}_{20}\times\overrightarrow{AB})$

La aceleración del punto A es nula en el movimiento relativo

$\vec{a}^A_{20}=\vec{0}$

La aceleración angular de este movimiento es

$\vec{\alpha}_{20}=\frac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{20}}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}(-2\dot{\theta}\vec{k}_1) = -2\ddot{\theta}\vec{k}_1$

produciendo el término

$\vec{\alpha}_{20}\times\overrightarrow{AB}=\left|\begin{matrix}\vec{\imath}_1 & \vec{\jmath}_1 & \vec{k}_1 \\ 0 & 0 & -2\ddot{\theta} \\ L\cos(\theta)& -L\,\mathrm{sen}(\theta) & 0 \end{matrix}\right|=-2L\ddot{\theta}\,\mathrm{sen}(\theta)\vec{\imath}-2L\ddot{\theta}\cos(\theta)\vec{\jmath}_1$

Desarrollando el doble producto vectorial de la velocidad angular

$\vec{\omega}_{20}\times(\vec{\omega}_{20}\times\overrightarrow{AB})=\overbrace{(\vec{\omega}_{20}\cdot\overrightarrow{AB})}^{=0} \vec{\omega}_{20}-\omega_{20}^2\overrightarrow{AB}=-4L\dot{\theta}^2\cos(\theta)\vec{\imath}_1+4L\dot{\theta}^2\mathrm{sen}(\theta)\vec{\jmath}_1$

Sumando los tres términos obtenemos la aceleración relativa

$\vec{a}^B_{20}=-2L(\ddot{\theta}\,\mathrm{sen}(\theta)+2\dot{\theta}^2\cos(\theta))\vec{\imath}_1-2L(\ddot{\theta}\cos(\theta)-2\dot{\theta}^2\,\mathrm{sen}(\theta))\vec{\jmath}_1$

Sustituyendo los valores numéricos

$\vec{a}^B_{01}=(-20.4\vec{\imath}_1+7.2\vec{\jmath}_1)\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}$

3.3 Aceleración absoluta

Por último, para la aceleración absoluta empleamos el teorema de Coriolis

$\vec{a}^B_{21}=\vec{a}^B_{20}+\vec{a}^B_{01}+2\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^B_{20}$

Nos queda por hallar el último término. Sustituyendo la velocidad relativa y desarrollando el doble producto vectorial

$2\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^B_{20}=2\vec{\omega}_{01}\times(\vec{\omega}_{20}\times\overrightarrow{AB})=-2(\vec{\omega}_{01}\cdot\vec{\omega}_{20})\overrightarrow{AB}=4L\dot{\theta}^2\cos(\theta)\vec{\imath}_1-4L\dot{\theta}^2\mathrm{sen}(\theta)\vec{\jmath}_1$

Sumando los tres términos obtenemos la aceleración absoluta

$\begin{array}{rcccc} \vec{a}^B_{21} & = & -2L(\ddot{\theta}\,\mathrm{sen}(\theta)+2\dot{\theta}^2\cos(\theta))\vec{\imath}_1 & - & 2L(\ddot{\theta}\cos(\theta)-2\dot{\theta}^2\,\mathrm{sen}(\theta))\vec{\jmath}_1+ \\ & + & -2L\dot{\theta}^2\cos(\theta)\vec{\imath}_1 & + & 2L\ddot{\theta}\cos(\theta)\vec{\jmath}_1+\\ & + & 4L\dot{\theta}^2\cos(\theta)\vec{\imath}_1& - & 4L\dot{\theta}^2\mathrm{sen}(\theta)\vec{\jmath}_1 = \\ & = & (-2L\ddot{\theta}\mathrm{sen}(\theta)-2L\dot{\theta}^2\cos(\theta))\vec{\imath}_1&&\end{array}$

Por supuesto, dado que conocemos la velocidad absoluta de B en todo instante, podemos llegar a esta aceleración simplemente derivando la velocidad absoluta:

$\vec{a}^B_{21}=\left.\frac{\mathrm{d}\vec{v}^B_{21}}{\mathrm{d}t}\right|_1=\left.\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}(-2L\dot{\theta}\,\mathrm{sen}(\theta)\vec{\imath}_1)\right|_1=(-2L\ddot{\theta}\,\mathrm{sen}(\theta)-2L\dot{\theta}^2\cos(\theta))\vec{\imath}_1$

Numéricamente tenemos para la aceleración de Coriolis

$2\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^B_{20}=2\left|\begin{matrix}\vec{\imath}_1 & \vec{\jmath}_1 & \vec{k}_1 \\ 0 & 0 & 3 \\ -2.4 & -1.8 & 0 \end{matrix}\right|\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}=(10.8\vec{\imath}_1-14.4\vec{\jmath}_1)\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}$

y para la aceleración absoluta

5.2. Movimiento relativo en un sistema biela-manivela

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

2 Velocidades

2.1 Absoluta

2.2 Arrastre

2.3 Relativa

2.4 Representación gráfica

3 Aceleraciones

3.1 Arrastre

3.2 Relativa

3.3 Aceleración absoluta

Herramientas:

Buscar

Vistas

Herramientas

Herramientas personales

Navegación

SEARCH

TOOLBOX

LANGUAGES