Triángulo en movimiento helicoidal

De Laplace

Revisión a fecha de 18:01 14 nov 2010; Antonio (Discusión | contribuciones)

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Contenido

1 Enunciado
2 EIRMD
3 Aceleración normal
4 Aceleración y ley horaria
- 4.1 Aceleración
- 4.2 Ley horaria

1 Enunciado

El triángulo de vértices A, B y C, constituye un sólido rígido en movimiento respecto del sistema de referencia fijo OXYZ. De dicho movimiento se conocen los siguientes datos:

Los vértices A y B permanecen en todo instante sobre el eje OZ, desplazándose ambos con igual velocidad instantánea: $\vec{v}^A = \vec{v}^B = v(t) \vec{k}$ .
El vértice C se mueve describiendo la hélice $Γ$ , que en el sistema OXYZ está descrita por las ecuaciones paramétricas siguientes (donde $A$ y $b$ son constantes conocidas):

$\vec{r}(\theta)= A\cos\theta\vec{\imath}+A\,\mathrm{sen}\,\theta\vec{\jmath}+ \frac{b}{2\pi}\theta\vec{k}$

Indique de forma razonada cuál es el eje instantáneo de rotación y mínimo deslizamiento en el movimiento descrito. Determine el vector velocidad angular en términos de los datos expresados en el enunciado.
Exprese la componente normal de la aceleración del vértice C en un instante cualquiera, en función de los datos del enunciado.
Para el caso en que $v (t) = v 0$ (cte.), y $b = π A$ , calcule la aceleración del vértice C. Determine la ley horaria $s = s (t)$ con que el punto C describe su trayectoria.

2 EIRMD

El eje instantáneo de rotación y mínimo deslizamiento se caracteriza porque en cada uno de sus puntos

$\vec{v}^I \parallel \vec{\omega}$

Por otro lado, tenemos que, dados dos puntos cualesquiera del sólido

$\vec{v}^B = \vec{v}^A + \vec{\omega}\times\overrightarrow{AB}$

En este caso en concreto tenemos que las velocidades de A y B son iguales por lo que

$\vec{v}^A = \vec{v}^B \qquad\Rightarrow\qquad \vec{\omega}\times\overrightarrow{AB}=\vec{0}$

Esto quiere decir que $\vec{\omega}$ es paralelo a $\overrightarrow{AB}$ y por tanto

$\vec{\omega}=\omega\vec{k}$

Pero esta misma dirección es la de las velocidades de A y B

$\vec{v}^A = \vec{v}^B = v(t)\vec{k}\parallel \vec{\omega}=\omega \vec{k}$

Por tanto el EIRMD no es otro que el el eje que pasa por A y B: el eje Z.

La velocidad de deslizamiento, común a todos los puntos del sólido, será igual a la de A o B

v d = v A = v (t)

3 Aceleración normal

La aceleración normal de C es igual a

$\vec{a}^C_n = \frac{(v^C)^2}{R_c}\vec{N}$

siendo $R c$ el radio de curvatura de la trayectoria.

De la velocidad de C necesitamos la celeridad, pero solo conocemos la componente vertical que es igual a la velocidad de deslizamiento

$v^C_z = v_d = v(t)\,$

Relacionamos ambas cosas observando que

$\vec{v}= v\vec{T}$

siendo el vector tangente a una hélice

$\vec{T}=\frac{\mathrm{d}\vec{r}/\mathrm{d}\theta}{\left|\mathrm{d}\vec{r}/\mathrm{d}\theta\right|}$

A partir de las ecuaciones paramétricas de la hélice se obtiene el vector tangente

No se pudo entender (Falta el ejecutable de <strong>texvc</strong>. Por favor, lea <em>math/README</em> para configurarlo.): \vec{T}=-\frac{2\pi A}{\sqrt{(2\pi A)^2+b^2}}\mathrm{sen}{(\theta)\vec{\imath}+\frac{2\pi A}{\sqrt{(2\pi A)^2+b^2}}\cos\theta\vec{\jmath}+\frac{b}{\sqrt{(2\pi A)^2+b^2}}\vec{k}

Por tanto la componente vertical de la velocidad de C es

$v^C_z = v^CT_z = \frac{bv^C}{\sqrt{(2\pi A)^2+b^2}}$

y de aquí obtenemos la celeridad de C

$v^C = \frac{\sqrt{h^2+R^2}}{h}v(t)$

El radio de curvatura de una hélice no es, como pudiera pensarse, igual a R, el radio del cilindro sobre el que se encuentra. Para calcularlo se emplea la fórmula general

$R_c = \frac{\left|\vec{r}'\right|^3}{\left|\vec{r}'\times\vec{r}''\right|}$ $\vec{r}'\equiv \frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}\theta}$ $\vec{r}''\equiv \frac{\mathrm{d}^2\vec{r}}{\mathrm{d}\theta^2}$

En este caso resulta

$R_c= \frac{h^2+R^2}{R}$

Reuniendo ambos resultados obtenemos el módulo de la aceleración normal de C

$a^C_n = \frac{(h^2+R^2)v^2/h^2}{(h^2+R^2)/R}=\frac{v^2R}{h^2}$

Si deseamos esta aceleración normal en forma vectorial, debemos calcular el vector normal a la trayectoria que, en forma general, es

$\vec{N}=-\frac{\vec{r}'\times(\vec{r}'\times\vec{r}'')}{\left|\vec{r}'\right|\left|\vec{r}'\times\vec{r}''\right|}$

En este caso, este cálculo nos da

$\vec{N}=-\cos\theta\vec{\imath}-\,\mathrm{sen}\,\theta\vec{\jmath}$

por lo que la aceleración normal es

$\vec{a}^C_n = -\frac{v^2R}{h^2}\left(\cos\theta\vec{\imath}+\,\mathrm{sen}\,\theta\vec{\jmath}\right)$

4 Aceleración y ley horaria

4.1 Aceleración

Si $v (t) = v 0$ la celeridad del punto C es

$v^C = \frac{\sqrt{h^2+R^2}}{h}v_0=\mathrm{cte}$

Si la celeridad es constante, el movimiento de C es uniforme y su aceleración tangencial nula

$\vec{a}^C_t = \frac{\mathrm{d}v^C}{\mathrm{d}t}\vec{T}=\vec{0}$

y por tanto toda la aceleración es normal, siendo su valor el que ya conocemos

$\vec{a}^C = \vec{a}^C_n = -\frac{v^2R}{h^2}\left(\cos\theta\vec{\imath}+\,\mathrm{sen}\,\theta\vec{\jmath}\right)$

4.2 Ley horaria

La ley horaria es inmediata, puesto que la celeridad es constante

$\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}=v^C = \frac{\sqrt{h^2+R^2}}{h}v_0$ $\Rightarrow$ $s=s_0+\frac{\sqrt{h^2+R^2}}{h}v_0 t$

También podemos dar, como ley horaria la variación del parámetro $θ$ con el tiempo. Para ello observamos que

$\vec{v}^C=\frac{\mathrm{d}\vec{r}^C}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}\vec{r}^C}{\mathrm{d}\theta}\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}= \left(-R\,\mathrm{sen}\,\theta\vec{\imath}+R\cos\theta\vec{\jmath}+h\vec{k}\right)\dot{\theta}$

Si igualamos la componente z a la velocidad de deslizamiento

$h\dot{\theta}=v_0\qquad\Rightarrow\qquad \theta=\theta_0+\frac{v_0}{h}t$

cumpliéndose la relación

$s = \sqrt{h^2+R^2}\theta$

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