Entrar Página Discusión Historial Go to the site toolbox

No Boletín - Identificación de movimiento (Ex.Nov/10)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Una partícula se mueve según las ecuaciones horarias

\vec{r}(t)=A\cos^2(\omega t)\vec{\imath}+A\,\mathrm{sen}^2(\omega t)\vec{\jmath}+2A\cos^2(\omega t)\vec{k}
  1. ¿Qué trayectoria sigue la partícula?
  2. Determine la ley horaria s(t). Suponga que s(0) = 0.
  3. ¿Qué tipo de movimiento describe la partícula?

2 Trayectoria

2.1 Método 1: Ecuaciones implícitas

La forma más directa de identificar la trayectoria consiste en buscar ecuaciones implícitas

f(x,y,z) = 0\qquad\qquad g(x,y,z)=0

que sean satisfechas por la posición instantánea en todo momento.

Separando en componentes tenemos que

x = A\cos^2(\omega t)\,        y=A\,\mathrm{sen}^2(\omega t)        z=2A\cos^2(\omega t)\,

De aquí es inmediato que

z= 2x\,   \Rightarrow    2x -z = 0\,

que es la ecuación de un plano, por lo que, por lo pronto, la trayectoria es plana.

Además, se verifica

x + y = A\cos^2(\omega t) + A\,\mathrm{sen}^2(\omega t) = A

con lo que la trayectoria está también contenida en el plano

x + y = A\,

Al estar la trayectoria contenida en la intersección de dos planos, llegamos a la conclusión de que el movimiento es rectilíneo, siendo su trayectoria la recta

r:\left\{\begin{matrix} 2x - z & = & 0 \\ x + y & = & A \end{matrix}\right.

2.2 Método 2: Vector tangente

Un procedimiento sistemático para determinar si un movimiento es rectilíneo consiste en determinar el vector tangente a la trayectoria y ver si éste es constante.

Hallamos este vector tangente calculando previamente la velocidad

\vec{v}=\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}=-2A\omega\cos(\omega t)\mathrm{sen}(\omega t)\vec{\imath}+2A\omega\,\mathrm{sen}(\omega t)\cos(\omega t)\vec{\jmath}-4A\omega\cos(\omega t)\mathrm{sen}(\omega t)\vec{k}=2A\omega\cos(\omega t)\mathrm{sen}(\omega t)\left(-\vec{\imath}+\vec{\jmath}-2\vec{k}\right)

y dividiendo por su módulo, la celeridad,

|\vec{v}| = 2A\omega \cos(\omega t)\mathrm{sen}(\omega t)\sqrt{1+1+4}=2\sqrt{6}A\omega \cos(\omega t)\mathrm{sen}(\omega t)

lo que nos da el vector tangente

\vec{T}=\frac{\vec{v}}{v}=-\frac{1}{\sqrt{6}}\vec{\imath}+\frac{1}{\sqrt{6}}\vec{\jmath}-\frac{2}{\sqrt{6}}\vec{k}

Este vector es constante y por tanto el movimiento es rectilíneo. La ecuación de la recta la obtenemos a partir se la posición inicial y empleando este vector tangente como vector director

\vec{r}(s) = \vec{r}_0 + s \vec{T} = A\vec{\imath}+2A\vec{k}+s\left(-\frac{1}{\sqrt{6}}\vec{\imath}+\frac{1}{\sqrt{6}}\vec{\jmath}-\frac{2}{\sqrt{6}}\vec{k}\right)

o, separando en componentes

r:\left\{\begin{matrix} x & = & A - s/\sqrt{6} \\ y & = & s/\sqrt{6} \\ z & = & 2A -2s/\sqrt{6}\end{matrix}\right.

2.3 Método 3: Relaciones trigonométricas

La trayectoria de la partícula también puede identificarse con ayuda de las relaciones trigonométricas

\cos^2(\omega t) = \frac{1+\cos(2\omega t)}{2}        \mathrm{sen}^2(\omega t) = \frac{1-\cos(2\omega t)}{2}

que permiten expresar la posición instantánea como

\vec{r}(t)= \frac{A}{2}(1+\cos(2\omega t)\vec{\imath}+A(1-\cos(2\omega t))\vec{\jmath}+A(1+\cos(2\omega t))\vec{k}

Este vector se puede desglosar en la forma

\vec{r}(t) = \left(\frac{A}{2}\vec{\imath}+A\vec{\jmath}+A\vec{k}\right)+\frac{A\cos(2\omega t)}{2}\left(\vec{\imath}-2\vec{\jmath}+2\vec{k}\right) = \vec{G}+f(t)\vec{H}

siendo \vec{G} y \vec{H} dos vectores constantes. Dado que la dependencia con el tiempo queda solo en el coeficiente escalar de \vec{H}, es claro que la trayectoria es rectilínea según la recta

\vec{r}(\theta) = \vec{G}+\theta\vec{H}

3 Ley horaria

Para hallar la ley horaria, primero calculamos la velocidad, que ya vimos anteriormente,

\vec{v}=\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}=2A\omega\cos(\omega t)\mathrm{sen}(\omega t)\left(-\vec{\imath}+2\vec{\jmath}-2\vec{k}\right)

y hallamos su módulo, la celeridad,

|\vec{v}| = 6A\omega\cos(\omega t)\mathrm{sen}(\omega t)

Esta cantidad es igual a la derivada del parámetro arco respecto al tiempo.

\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}=6A\omega\cos(\omega t)\mathrm{sen}(\omega t) = 3A\omega\,\mathrm{sen}(2\omega t)

Calculamos la la ley horaria integrando esta expresión

s(t) = \int_0^t 3A\omega\,\mathrm{sen}(2\omega t)\mathrm{d}t=\frac{3A}{2}\left(1-\cos(2\omega t)\right)

En rigor, el módulo de la velocidad, que es una cantidad siempre positiva es solo igual a \dot{s} para 0 < 2ωt < π, en la cual el seno s positivo. Podemos extender no obstante el resultado a cualquier valor de t considerando que el valor del parámetro arco s en cada punto de la trayectoria es igual al valor para este primer semiperiodo, y admitir que para el resto del tiempo, lo que hace la partícula es moverse adelante y atrás, aumentando y disminuyendo el valor de s, pudiendo ser \dot{s}, la velocidad del movimiento rectilíneo, una cantidad tanto positiva como negativa.

4 Identificación del movimiento

Hemos determinado que el movimiento que sigue la partícula

  • Es rectilíneo
  • Sigue la ley horaria
s(t) = \frac{3A}{2}-\frac{3A}{2}\cos(2\omega T)

Podemos por ello concluir que la partícula describe un movimiento armónico simple alrededor del punto sc = 3A / 2, con amplitud 3A / 2 y frecuencia 2ω.

Vectorialmente las ecuaciones horarias pueden escribirse

\vec{r}(t) = \left(\frac{A}{2}\vec{\imath}+A\vec{\jmath}+A\vec{k}\right)+\cos(2\omega t)\left(\frac{A}{2}\vec{\imath}-A\vec{\jmath}+A\vec{k}\right)

que nos permite identificar el centro del movimiento como

\vec{r}_c = \frac{A}{2}\vec{\imath}+A\vec{\jmath}+A\vec{k}

y la amplitud vectorial como

\vec{A}=\frac{A}{2}\vec{\imath}-A\vec{\jmath}+A\vec{k}

entendiendo que el módulo de este vector nos da la amplitud de las oscilaciones y su dirección nos da la del movimiento oscilatorio.

Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/No_Bolet%C3%ADn_-_Identificaci%C3%B3n_de_movimiento_(Ex.Nov/10)"

Herramientas:

Herramientas personales
TOOLBOX
LANGUAGES
licencia de Creative Commons
 Aviso legal - Acerca de Laplace