Punto moviéndose sobre una parábola (G.I.A.)

De Laplace

Revisión a fecha de 10:38 2 nov 2010; Pedro (Discusión | contribuciones)

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1 Enunciado

Un punto inicialmente en reposo en la posición $x = a$ , $y = b$ , describe la parábola $\ \Gamma: y^2 = (b^2/a) x$ . Se conoce la componente $y$ de la aceleración: $a y = - k 2 y$ , con $k = c t e$ . Determina en función del tiempo la posición, velocidad y aceleración. ¿Cuál es la siguiente posición de reposo, y cuánto tiempo tarda en alcanzarla?

2 Solución

Podemos usar como parámetro de la curva la propia coordenada $y$ . De este modo el vector que recorre los puntos de la curva es

$\vec{r}(t) = \Big[ \dfrac{a}{b^2}y(t)^2,y(t),0\Big]$

La derivada y la aceleración son

$\begin{array}{l} \vec{v}(t)=\dot{\vec{r}}(t) = \Big[ \dfrac{2a}{b^2}y\dot{y},\dot{y},0\Big]\\ \\ \vec{a}(t)=\dot{\vec{v}}(t) = \Big[ \dfrac{2a}{b^2}(\dot{y}^2+y\ddot{y}),\ddot{y},0\Big] \end{array}$

El enunciado nos da la componente $a y$ de la aceleración. Igualando a la expresión obtenida obtenemos la ecuación diferencial

$\ddot{y} = -k^2y$

Puede comprobarse que las funciones $cos(k t)$ y $\,\mathrm{sen}\,(kt)$ son soluciones de esta ecuación. La solución más general puede escribirse de la forma

$y(t) = A\cos(kt) + B\,\mathrm{sen}\,(kt)$

donde $A$ y $B$ son dos constantes. Su valor se determina a partir de las condiciones iniciales. El enunciado nos da la posición inicial y dice que se parte del reposo, es decir

$\begin{array}{l} \vec{r}(0) = [a,b,0]\to y(0)=b\\ \\ \vec{v}(0) = [0,0,0]\to\dot{y}(0) = 0 \end{array}$

La derivada de la solución general es

$\dot{y}(t) = -Ak\,\mathrm{sen}\,(kt) + Bk\cos(kt)$

Aplicando las condiciones iniciales obtenemos las ecuaciones

$\begin{array}{l} y(0)=b \to B=b\\ \\ \dot{y}(0)=0 \to A = 0 \end{array}$

Por lo que la solución final es

y (t) = b cos(k t)

Esto quiere decir que el valor de $y$ oscila en el intervalo $[ - b, b]$ con un período $T = 2π / k$ . El vector de posición, la velocidad y la derivada se escriben

$\begin{array}{l} \vec{r}(t) = \Big[a\cos^2(kt),b\cos(kt),0\Big]\\ \\ \vec{v}(t) = \Big[-ak\,\mathrm{sen}\,(2kt),-bk\,\mathrm{sen}\,(kt),0\Big]\\ \\ \vec{a}(t) = \Big[-2ak^2\cos(2kt),-bk^2\cos(kt),0\Big] \end{array}$

Para obtener estas expresiones hemos usado la relaciones trigonométrica