3.6. Oscilador armónico en el plano

De Laplace

Revisión a fecha de 22:50 18 oct 2010; Antonio (Discusión | contribuciones)

(dif) ← Revisión anterior | Revisión actual (dif) | Revisión siguiente → (dif)

Contenido

1 Enunciado
2 Momento cinético y energía
- 2.1 Momento cinético
- 2.2 Energía mecánica
3 Integrales primeras
- 3.1 Momento cinético
4 Valor del momento cinético
5 Energía mecánica

1 Enunciado

Una partícula de masa $m$ se encuentra sujeta a un resorte de constante $k$ y longitud natural nula, que ejerce una fuerza

$\vec{F}=-k\vec{r}$

La posición inicial de la masa y su velocidad inicial son:

$\vec{r}_0=x_0\vec{\imath}$ $\vec{v}_0=v_0\vec{\jmath}$

Exprese el momento cinético de la partícula respecto al origen de coordenadas, $O$ , y la energía mecánica de la partícula en función de $x$ , $y$ , $z$ y sus derivadas temporales, $\dot{x}$ , $\dot{y}$ y $\dot{z}$ .
Demuestre que las dos magnitudes anteriores son integrales primeras y evalúelas en función de las condiciones iniciales.
Demuestre que el movimiento de esta partícula se restringe al plano $O X Y$ y que su velocidad areolar respecto al punto $O$ es constante.

2 Momento cinético y energía

2.1 Momento cinético

Obtenemos el momento cinético multiplicando el vector de posición por la cantidad de movimiento. Separando en coordenadas cartesianas

$\vec{L}=m\vec{r}\times\vec{v}=m\left|\begin{matrix} \vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ x & y & z \\ \dot{x} & \dot{y} & \dot{z}\end{matrix}\right| = m(y\dot{z}-z\dot{y})\vec{\imath}+m(z\dot{x}-x\dot{z})\vec{\jmath} + (x\dot{y}-y\dot{x})\vec{k}$

2.2 Energía mecánica

La energía mecánica es suma de la cinética

$K = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m(\dot{x}^2+\dot{y}^2+\dot{z}^2)$

y la potencial

$U = \frac{1}{2}kr^2 = \frac{1}{2}k(x^2+y^2+z^2)$

Resultando la energía

$E = K + U = \frac{1}{2}m(\dot{x}^2+\dot{y}^2+\dot{z}^2) + \frac{1}{2}kr^2 = \frac{1}{2}k(x^2+y^2+z^2)$

3 Integrales primeras

3.1 Momento cinético

La constancia del momento cinético es una consecuencia inmediata de que la fuerza producida por un oscilador armónico sea una fuerza central.

$\frac{\mathrm{d}\vec{L}_O}{\mathrm{d}t}= \vec{r}\times\vec{F}=-k\vec{r}\times\vec{r}=\vec{0}$

Podemos llegar a este resultado a partir de la expresión componente a componente. Así, para la componente z del momento cinético

$\frac{\mathrm{d}L_z}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(m(x\dot{y}-y\dot{x})\right) = m\left(\dot{x}\dot{y}+x\ddot{y}-\dot{y}\dot{x}-y\ddot{x}\right) = x(m\ddot{y})-y(m\ddot{x})$

Sustituyendo aquí la ley de Hooke

$m\ddot{x}=-kx$ $m\ddot{y}=-ky$

queda

$\frac{\mathrm{d}L_z}{\mathrm{d}t}=-kxy+kxy=0$

El valor del momento cinético lo obtenemos sustituyendo las condiciones iniciales

$\vec{L}=m\vec{r}_0\times\vec{v}_0 = mx_0v_0\vec{k}$

y, separando en sus componentes cartesianas

$L_x = m(y\dot{z}-z\dot{y})=0$ $L_y=m(z\dot{x}-x\dot{z})=0$ $m(x\dot{y}-y\dot{x})=mx_0v_0$

Al ser constante el momento cinético, la trayectoria es plana, siendo el plano de la órbita el definido por el vector de posición inicial (medido desde el centro de fuerzas) y la velocidad inicial.

En este caso tenemos que

$\vec{r}_0=x_0\vec{\imath}\qquad\qquad\vec{v}_0=v_0\vec{\jmath}$

El plano definido por estos dos vectores y el centro de fuerzas es el plano OXY, por lo que la trayectoria se limita a este plano.

4 Valor del momento cinético

Al estar limitada la trayectoria al plano OXY, el momento cinético posee solo componente en la dirección de OZ. la expresión de \vec{L} es

$\vec{L}=m\vec{r}\times\vec{v} = m\left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ x & y & 0 \\ \dot{x} & \dot{y} & 0\end{matrix}\right| = m(x\dot{y}-y\dot{x})\vec{k}$

Podemos demostrar directamente la constancia de esta cantidad derivándola respecto al tiempo

De la constancia del momento cinético deducimos que la partícula no puede llegar a detenerse en ningún momento (cosa que sí ocurre en el oscilador armónico en una dimensión), ya que no podemos hacer simultáneamente $\dot{x}=\dot{y}=0$ .