3.6. Oscilador armónico en el plano

De Laplace

Revisión a fecha de 22:46 18 oct 2010; Antonio (Discusión | contribuciones)

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Contenido

1 Enunciado
2 Momento cinético y energía
- 2.1 Momento cinético
- 2.2 Energía mecánica
3 Integrales primeras
- 3.1 Momento cinético
4 Valor del momento cinético
5 Energía mecánica

1 Enunciado

Una partícula de masa $m$ se encuentra sujeta a un resorte de constante $k$ y longitud natural nula, que ejerce una fuerza

$\vec{F}=-k\vec{r}$

La posición inicial de la masa y su velocidad inicial son:

$\vec{r}_0=x_0\vec{\imath}$ $\vec{v}_0=v_0\vec{\jmath}$

Exprese el momento cinético de la partícula respecto al origen de coordenadas, $O$ , y la energía mecánica de la partícula en función de $x$ , $y$ , $z$ y sus derivadas temporales, $\dot{x}$ , $\dot{y}$ y $\dot{z}$ .
Demuestre que las dos magnitudes anteriores son integrales primeras y evalúelas en función de las condiciones iniciales.
Demuestre que el movimiento de esta partícula se restringe al plano $O X Y$ y que su velocidad areolar respecto al punto $O$ es constante.

2 Momento cinético y energía

2.1 Momento cinético

Obtenemos el momento cinético multiplicando el vector de posición por la cantidad de movimiento. Separando en coordenadas cartesianas

$\vec{L}=m\vec{r}\times\vec{v}=m\left|\begin{matrix} \vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ x & y & z \\ \dot{x} & \dot{y} & \dot{z}\end{matrix}\right| = m(y\dot{z}-z\dot{y})\vec{\imath}+m(z\dot{x}-x\dot{z})\vec{\jmath} + (x\dot{y}-y\dot{x})\vec{k}$

2.2 Energía mecánica

La energía mecánica es suma de la cinética

$K = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m(\dot{x}^2+\dot{y}^2+\dot{z}^2)$

y la potencial

$U = \frac{1}{2}kr^2 = \frac{1}{2}k(x^2+y^2+z^2)$

Resultando la energía

$E = K + U = \frac{1}{2}m(\dot{x}^2+\dot{y}^2+\dot{z}^2) + \frac{1}{2}kr^2 = \frac{1}{2}k(x^2+y^2+z^2)$

3 Integrales primeras

3.1 Momento cinético

La constancia del momento cinético es una consecuencia inmediata de que la fuerza producida por un oscilador armónico sea una fuerza central.

$\frac{\mathrm{d}\vec{L}_O}{\mathrm{d}t}= \vec{r}\times\vec{F}=-k\vec{r}\times\vec{r}=\vec{0}$

Podemos llegar a este resultado a partir de la expresión componente a componente. Así, para la componente z del momento cinético

Al ser constante el momento cinético, la trayectoria es plana, siendo el plano de la órbita el definido por el vector de posición inicial (medido desde el centro de fuerzas) y la velocidad inicial.

En este caso tenemos que

$\vec{r}_0=x_0\vec{\imath}\qquad\qquad\vec{v}_0=v_0\vec{\jmath}$

El plano definido por estos dos vectores y el centro de fuerzas es el plano OXY, por lo que la trayectoria se limita a este plano.

4 Valor del momento cinético

Al estar limitada la trayectoria al plano OXY, el momento cinético posee solo componente en la dirección de OZ. la expresión de \vec{L} es

$\vec{L}=m\vec{r}\times\vec{v} = m\left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ x & y & 0 \\ \dot{x} & \dot{y} & 0\end{matrix}\right| = m(x\dot{y}-y\dot{x})\vec{k}$

Podemos demostrar directamente la constancia de esta cantidad derivándola respecto al tiempo

$\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(m(x\dot{y}-y\dot{x})\right) = m\left(\dot{x}\dot{y}+x\ddot{y}-\dot{y}\dot{x}-y\ddot{x}\right) = x(m\ddot{y})-y(m\ddot{x})$

Sustituyendo aquí la ley de Hooke

$m\ddot{x}=-kx$ $m\ddot{y}=-ky$

queda

$\frac{\mathrm{d}L_z}{\mathrm{d}t}=-kxy+kxy=0$

El valor del momento cinético lo obtenemos sustituyendo las condiciones iniciales

$m(x\dot{y}-y\dot{x})=mx_0v_0$

De la constancia del momento cinético deducimos que la partícula no puede llegar a detenerse en ningún momento (cosa que sí ocurre en el oscilador armónico en una dimensión), ya que no podemos hacer simultáneamente $\dot{x}=\dot{y}=0$ .