3.6. Oscilador armónico en el plano

De Laplace

Revisión a fecha de 18:25 17 oct 2010; Antonio (Discusión | contribuciones)

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Contenido

1 Enunciado
2 Momento cinético
3 Valor del momento cinético
4 Energía mecánica

1 Enunciado

Una partícula de masa $m$ se encuentra sujeta a un resorte de constante $k$ y longitud natural nula, que ejerce una fuerza

$\vec{F}=-k\vec{r}$

La posición inicial de la masa y su velocidad inicial son:

$\vec{r}_0=x_0\vec{\imath}$ $\vec{v}_0=v_0\vec{\jmath}$

Demuestre que el movimiento de esta partícula se restringe al plano OXY
Exprese el momento cinético de la partícula en función de $x$ , $y$ y sus derivadas temporales, $\dot{x}$ y $\dot{y}$ . ¿A qué es igual esta cantidad, teniendo en cuenta las condiciones iniciales?
Exprese la energía cinética, la potencial y la energía mecánica de la partícula en función de $x$ , $y$ , $\dot{x}$ y $\dot{y}$ .
Demuestre que la energía mecánica es constante y halle su valor en función de las condiciones iniciales.

2 Momento cinético

La constancia del momento cinético es una consecuencia inmediata de que la fuerza producida por un oscilador armónico sea una fuerza central.

$\frac{\mathrm{d}\vec{L}_O}{\mathrm{d}t}= \vec{r}\times\vec{F}=-k\vec{r}\times\vec{r}=\vec{0}$

Al ser constante el momento cinético, la trayectoria es plana, siendo el plano de la órbita el definido por el vector de posición inicial (medido desde el centro de fuerzas) y la velocidad inicial.

En este caso tenemos que

$\vec{r}_0=x_0\vec{\imath}\qquad\qquad\vec{v}_0=v_0\vec{\jmath}$

El plano definido por estos dos vectores y el centro de fuerzas es el plano OXY, por lo que la trayectoria se limita a este plano.

3 Valor del momento cinético

Al estar limitada la trayectoria al plano OXY, el momento cinético posee solo componente en la dirección de OZ. la expresión de \vec{L} es

$\vec{L}=m\vec{r}\times\vec{v} = m\left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ x & y & 0 \\ \dot{x} & \dot{y} & 0\end{matrix}\right| = m(x\dot{y}-y\dot{x})\vec{k}$

Podemos demostrar directamente la constancia de esta cantidad derivándola respecto al tiempo

$\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(m(x\dot{y}-y\dot{x})\right) = m\left(\dot{x}\dot{y}+x\ddot{y}-\dot{y}\dot{x}-y\ddot{x}\right) = x(m\ddot{y})-y(m\ddot{x})$

Sustituyendo aquí la ley de Hooke

$m\ddot{x}=-kx$ $m\ddot{y}=-ky$

queda

$\frac{\mathrm{d}L_z}{\mathrm{d}t}=-kxy+kxy=0$

El valor del momento cinético lo obtenemos sustituyendo las condiciones iniciales

$m(x\dot{y}-y\dot{x})=mx_0v_0$

De la constancia del momento cinético deducimos que la partícula no puede llegar a detenerse en ningún momento (cosa que sí ocurre en el oscilador armónico en una dimensión), ya que no podemos hacer simultáneamente $\dot{x}=\dot{y}=0$ .