Caída a lo largo de una hélice

De Laplace

Revisión a fecha de 11:38 16 oct 2010; Antonio (Discusión | contribuciones)

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1 Enunciado

Una pequeña anilla de masa $m$ esta obligada a moverse sin rozamiento a lo largo de una hélice de radio $A$ y paso de rosca $b$ cuyo eje está situado verticalmente. La anilla se encuentra sometida a la acción de la gravedad y parte del reposo desde una altura $h = b$ . Cuando se encuentra en $z = 0$ , ¿con qué velocidad se mueve? ¿Qué fuerza ejerce la anilla sobre la hélice?

2 Velocidad

En su movimiento a lo largo de la hélice, la partícula se encuentra sometida a dos fuerzas, la de la gravedad y la fuerza de reacción vincular debida la hélice y que la obliga a moverse a lo largo de ella.

Esta fuerza de reacción vincular es puramente normal a la trayectoria, al no haber rozamiento, y por tanto no realiza trabajo alguno sobre la partícula. Por ello, a la hora de expresar la conservación de la energía mecánica, podemos limitarnos a considerar la acción del peso y escribir

$\frac{1}{2}mv^2+mgz = E = \mathrm{cte}$

En el instante inicial la energía cinética es nula y la energía potencial (tomando como origen el punto más bajo) vale $m g b$ . En el instante final la energía potencial es nula. Por tanto

$0 + mgb = \frac{1}{2}mv^2 + 0$ $v = \sqrt{2gb}$

Esta es la rapidez con la que se mueve la partícula, pero no su velocidad, que es un vector. La velocidad lleva la dirección del vector tangente

Cuanto tenemos una hélice que podemos parametrizar como

$\vec{r}(\theta)=A\cos(\theta)\vec{\imath}+A\,\mathrm{sen}(\theta)\vec{\jmath}+\frac{b\theta}{2\pi}\vec{k}$

su vector tangente es

$\vec{T}=-\frac{2\pi A}{\sqrt{(2\pi A)^2+b^2}}\mathrm{sen}(\theta)\vec{\imath}+ \frac{2\pi A}{\sqrt{(2\pi A)^2+b^2}}\cos(\theta)\vec{\jmath}+\frac{b}{\sqrt{(2\pi A)^2+b^2}}\vec{k}$

Introduciendo el ángulo de inclinación de la hélice

$\mathrm{tg}(\alpha)=\frac{b}{2\pi A}$

queda

$\vec{T}-\cos(\alpha)\mathrm{sen}(\theta)\vec{\imath}+ \cos(\alpha)\cos(\theta)\vec{\jmath}+\,\mathrm{sen}(\alpha)\vec{k}$

Podemos tomar el origen de coordenadas en el eje de la hélice y el eje OX de forma que coincida con el punto final, situado en $z = 0$ , con lo que $θ = 0$ y

$\vec{T}= \frac{2\pi A}{\sqrt{(2\pi A)^2+b^2}}\vec{\jmath}+\frac{b}{\sqrt{(2\pi A)^2+b^2}}\vec{k}=\cos(\alpha)\vec{\jmath}+\mathrm{sen}(\alpha)\vec{k}$

Teniendo en cuenta que componente vertical de la velocidad es hacia abajo, el sentido de la velocidad es opuesto al de este vector tangente, con lo que queda finalmente

$\vec{v}=-\sqrt{2gb}\left(\cos(\alpha)\vec{\jmath}+\mathrm{sen}(\alpha)\vec{k}\right)$

3 Fuerza

La partícula se encuentra sometida a las dos fuerzas indicadas, con lo que la segunda ley de Newton se escribe

$m\vec{a} = m\vec{g}+\vec{\Phi}$

Si separamos en la parte tangencial y la parte normal de la aceleración quedan las ecuaciones

$\begin{array}{rcl} m\vec{a}_t & = & m\vec{g}_t\\ m\vec{a}_n & = & m\vec{g}_n+\vec{\Phi} \end{array}$

En la componente tangencial no aparece la fuerza de reacción vincular, por ser ésta puramente normal a la trayectoria. Esto nos permite despejar esta fuerza como

$\vec{\Phi} = m\vec{a}_n -m\vec{g}_n$

El primero de los dos términos es de la aceleración normal

$m\vec{a}_N = m\frac{v^2}{R}\vec{N}$

Aquí $R$ es el radio de curvatura de la hélice

$R = A + \frac{b^2}{4\pi^2A} = A \left(1+\frac{b^2}{(2\pi A)^2}\right) = A\left(1+\mathrm{tg}^2(\alpha)\right)=\frac{A}{\cos^2(\alpha)}$

El vector normal a una hélice es puramente horizontal y en el punto que estamos considerando es igual a

$\vec{N}=-\vec{\imath}$

por lo que el término de masa por aceleración normal vale

$m\vec{a}_n = -m\frac{2gb}{A}\cos^2(\alpha)\vec{\imath}=-4\pi m g\,\mathrm{sen}(\alpha)\cos(\alpha)\vec{\imath}$

Para hallar la componente del peso en la dirección normal, le restamos su componente tangencial

$m\vec{g}_n = m\vec{g}-m\vec{g}_t$

siendo

$m\vec{g}_t = (m\vec{g}\cdot\vec{T})\vec{T} = -mg\mathrm{sen}(\alpha)(\cos(\alpha)\vec{\jmath}+\mathrm{sen}(\alpha)\vec{k})$

Esto nos da

$m\vec{g}_n = -mg\vec{k} + mg\,\mathrm{sen}(\alpha)\cos(\alpha)\vec{\jmath}+mg\,\mathrm{sen}^2(\alpha)\vec{k}= -mg\cos(\alpha)\left(\mathrm{sen}(\alpha)\vec{\jmath}+\cos(\alpha)\vec{k}\right)$

Es fácil llegar a este resultado gráficamente hallando la proyección de $\vec{g}$ ortogonal a $\vec{T}$ .