Caída a lo largo de una hélice
De Laplace
1 Enunciado
Una pequeña anilla de masa m esta obligada a moverse sin rozamiento a lo largo de una hélice de radio A y paso de rosca b cuyo eje está situado verticalmente. La anilla se encuentra sometida a la acción de la gravedad y parte del reposo desde una altura h = b. Cuando se encuentra en z = 0, ¿con qué velocidad se mueve? ¿Qué fuerza ejerce la anilla sobre la hélice?
2 Velocidad
En su movimiento a lo largo de la hélice, la partícula se encuentra sometida a dos fuerzas, la de la gravedad y la fuerza de reacción vincular debida la hélice y que la obliga a moverse a lo largo de ella.
Esta fuerza de reacción vincular es puramente normal a la trayectoria, al no haber rozamiento, y por tanto no realiza trabajo alguno sobre la partícula. Por ello, a la hora de expresar la conservación de la energía mecánica, podemos limitarnos a considerar la acción del peso y escribir
En el instante inicial la energía cinética es nula y la energía potencial (tomando como origen el punto más bajo) vale mgb. En el instante final la energía potencial es nula. Por tanto
Esta es la rapidez con la que se mueve la partícula, pero no su velocidad, que es un vector. La velocidad lleva la dirección del vector tangente
Cuanto tenemos una hélice que podemos parametrizar como
su vector tangente es
Podemos tomar el origen de coordenadas en el eje de la hélice y el eje OX de forma que coincida con el punto final, situado en z = 0, con lo que θ = 0 y
Introduciendo el ángulo de inclinación de la hélice
el vector tangente se reduce a
Teniendo en cuenta que componente vertical de la velocidad es hacia abajo, el sentido de la velocidad es opuesto al de este vector tangente, con lo que queda finalmente
\vec{v}=-\sqrt{2gb}\left(\cos(\alpha)\vec{\jmath}+\mathrm{sen}(\alpha)\vec{k}\right)
