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Caída a lo largo de una hélice

De Laplace

1 Enunciado

Una pequeña anilla de masa m esta obligada a moverse sin rozamiento a lo largo de una hélice de radio A y paso de rosca b cuyo eje está situado verticalmente. La anilla se encuentra sometida a la acción de la gravedad y parte del reposo desde una altura h = b. Cuando se encuentra en z = 0, ¿con qué velocidad se mueve? ¿Qué fuerza ejerce la anilla sobre la hélice?

2 Velocidad

En su movimiento a lo largo de la hélice, la partícula se encuentra sometida a dos fuerzas, la de la gravedad y la fuerza de reacción vincular debida la hélice y que la obliga a moverse a lo largo de ella.

Esta fuerza de reacción vincular es puramente normal a la trayectoria, al no haber rozamiento, y por tanto no realiza trabajo alguno sobre la partícula. Por ello, a la hora de expresar la conservación de la energía mecánica, podemos limitarnos a considerar la acción del peso y escribir

\frac{1}{2}mv^2+mgz = E = \mathrm{cte}

En el instante inicial la energía cinética es nula y la energía potencial (tomando como origen el punto más bajo) vale mgb. En el instante final la energía potencial es nula. Por tanto

0 + mgb = \frac{1}{2m}mv^2 + 0        v = \sqrt{2gb}

Esta es la rapidez con la que se mueve la partícula, pero no su velocidad, que es un vector. La velocidad lleva la dirección del vector tangente


3 Fuerza

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