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Problemas de cinemática del punto material (G.I.T.I.)

De Laplace

Contenido

1 Ejemplo de movimiento rectilíneo

Una partícula efectúa un movimiento rectilíneo tal que si x(t) es la posición a lo largo de la recta y v(t) la componente de la velocidad en dicha dirección, se cumple en todo instante

v = \sqrt{k x}
  1. Determine la aceleración en cada punto. ¿Qué tipo de movimiento efectúa la partícula?
  2. Si en t = 0 la partícula se encuentra en x = x0, ¿cuál es su posición en cualquier instante posterior?

2 Cinemática del tiro parabólico

Supóngase el movimiento de un proyectil, dado en coordenadas cartesianas por

x=(v_0\cos\alpha)t\,        y=0\,        z=(v_0\,\mathrm{sen}\,\alpha)t-\frac{1}{2}gt^2
  1. Determine el vector de posición, la velocidad y la aceleración en cada instante.
  2. Calcule la celeridad y el vector tangente en el instante inicial, en el instante en que se encuentra a mayor altura y en el momento en que vuelve a impactar con el suelo.
  3. Halle la aceleración tangencial y la aceleración normal, así como el vector unitario normal en los tres instantes anteriores.
  4. Calcule el radio de curvatura y el centro de curvatura en los mismos tres instantes.

3 Ejemplo de movimiento circular

Una partícula describe el movimiento dado por las ecuaciones horarias, en el SI

\vec{r}=4\cos^2t\,\vec{\imath}+5\cos t\,\mathrm{sen}\,t\,\vec{\jmath}-3\cos^2t\,\vec{k}

Demuestre que este movimiento es circular y determine el centro y el radio de la circunferencia.

4 Movimiento circular no uniforme

Una partícula describe un movimiento según la ecuación horaria

\vec{r}(t) = \frac{A(T^2-t^2)}{T^2+t^2}\vec{\imath}+\frac{2ATt}{T^2+t^2}\vec{\jmath}
  1. Calcule la aceleración y la velocidad instantáneas de este movimiento.
  2. Determine el parámetro arco como función del tiempo y escriba la ecuación de la trayectoria como función del parámetro arco.
  3. Calcule los vectores tangente y normal a la trayectoria en cada instante, así como las componentes intrínsecas de la aceleración.
  4. Halle el radio de curvatura y la posición del centro de curvatura en cada instante.

5 Ejemplo de movimiento helicoidal

Una partícula se mueve a lo largo de la hélice descrita por la ecuación paramétrica

\vec{r}=A\cos(\theta)\vec{\imath}+A\,\mathrm{sen}(\theta)\vec{\jmath}+\frac{b\theta}{2\pi}\vec{k}

donde A y b son constantes conocidas. El movimiento de la partícula sigue la ley horaria

\theta(t) = \Omega_0t+\beta t^2\,
  1. Determine el parámetro arco de la hélice descrita, como función del parámetro θ y del tiempo
  2. Halle la rapidez del movimiento.
  3. Calcule la componente tangencial de la aceleración de la partícula en todo instante.
  4. Para el instante t = 0 calcule la velocidad y la aceleración de la partícula.
  5. Para el mismo instante, halle los vectores del triedro de Frenet, así como el radio de curvatura de la partícula.

6 Espiral logarítmica

Una partícula recorre la espiral logarítmica de ecuación

\vec{r} = R (\cos(\theta)\vec{\imath}+\,\mathrm{sen}\,(\theta)\vec{\jmath})\mathrm{e}^{-\theta\,\mathrm{tg}\,\alpha}

donde R y α son constantes. El movimiento es uniforme a lo largo de la curva, con celeridad constante v0. En el instante inicial la partícula se encuentra en θ = 0

  1. Determine la ley horaria θ = θ(t).
  2. Calcule el tiempo que tarda en llegar a \vec{r}=\vec{0}. ¿Cuántas vueltas da para ello?
  3. Halle el vector aceleración y sus componentes intrínsecas en cada punto de la trayectoria.
  4. Determine la posición de los centros de curvatura de este movimiento.

7 Evolvente de una circunferencia

La evolvente (o involuta) de una circunferencia es la curva que se obtiene cuando se desenrolla un hilo tenso de un carrete circular. Suponga que se tiene una bobina que se va desenrollando a ritmo constante, de forma que el punto de contacto del hilo con el carrete forma un ángulo θ = ωt con el punto inicial. Una partícula material se encuentra en el extremo del hilo, moviéndose con este extremo a medida que el hilo se va desenrollando.

  1. Determine el vector de posición de la partícula como función de la coordenada θ.
  2. Halle la velocidad y la aceleración de la partícula para cada valor de θ.
  3. Determine los vectores tangente y normal a la trayectoria.
  4. Halle el radio de curvatura y el centro de curvatura para cada valor de θ.

8 Movimiento cicloidal

Un punto de un disco que rueda a velocidad constante sobre una superficie plana en y = 0 tiene por velocidad

\vec{v}=\vec{v}_O+\vec{\omega}\times\vec{r}

donde

\vec{v}_O=v_0\vec{i}        \vec{\omega}=-\omega\vec{k}        v_0=\omega R\,

son la velocidad de traslación del centro del disco y la velocidad angular de rotación alrededor de él, respectivamente.

  1. Halle la expresión de la velocidad en función de las coordenadas de un punto del disco y del tiempo.
  2. Pruebe que las ecuaciones horarias
x = v_0 t -R\,\mathrm{sen}(\omega t)        y = R(1-\cos(\omega t))\,
son soluciones de las ecuaciones obtenidas en el primer apartado para un punto del borde del disco.
  1. Para el movimiento anterior, calcule la velocidad y la aceleración instantáneas
  2. Halle la celeridad instantánea, así como la ley horaria s(t) para intervalo 0 < t < T con T el periodo de revolución del disco.
  3. Determine las componentes intrínsecas de la aceleración, el radio de curvatura y la posición del centro de curvatura para el mismo periodo anterior.
Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/Problemas_de_cinem%C3%A1tica_del_punto_material_(G.I.T.I.)"

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