Cálculo de base dual

De Laplace

1 Enunciado

Sea una base vectorial arbitraria. Sean tres vectores definidos por

                        

1. Demuestre que el conjunto es también una base (llamada base dual de B₁). ¿Cuánto vale el producto mixto de sus vectores?

2. Pruebe que se cumple

3. Demuestre que las componentes de un vector en la base B₁ pueden calcularse proyectando sobre la base B₂, esto es, si

la componente k viene dada por

4. Halle la base dual de la base

5. Calcule las componentes del vector

en las bases del apartado anterior.

2 Carácter de base

En el espacio de tridimensional ordinario, cualquier conjunto de tres vectores linealmente independientes constituye una base.

Para demostrar la independencia lineal basta probar que el producto mixto de los tres vectores es nulo. Por tanto debemos hallar

Sustituyendo las definiciones de cada uno de los vectores

Para el triple producto vectorial tenemos, aplicando las propiedades del doble producto vectorial

y por tanto el producto mixto de los tres vectores vale

Por tanto, si B₁ es una base, B₂ también lo es y el producto mixto de los vectores de B₂ es el inverso de los de B₁.

3 Ortogonalidad

Los vectores de la base B₁ no son ortogonales entre sí, como tampoco lo son los de la base B₂. sin embargo, los de una de las bases son ortogonales a los de la otra (y viceversa).

Dada la simetría de la definición de los vectores de B₂ nos basta con probarlo para el primero de sus vectores. Multiplicándolo por cada uno de los vectores de B_1 tenemos, para el primero

para el segundo y el tercero, aplicando que el producto vectorial es ortogonal a los dos vectores que lo forman

        

Si se opera con o con el resultado es análogo.

4 Componentes de un vector

5 Caso particular

6 Ejemplo de cálculo de componentes