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Problemas de vectores libres (G.I.T.I.)

De Laplace

Contenido

1 Formulas posiblemente incorrectas

De las siguientes expresiones, indique cuáles son necesariamente incorrectas. Aquí las diferentes letras representan las magnitudes definidas en el problema de ejemplos de análisis dimensional, R es una distancia y \vec{r} el vector de posición; t es el tiempo:

(a) \vec{F} = m\frac{\vec{v}\times\vec{a}}{\vec{v}}
(b) \vec{F}\times(\vec{v}\times\vec{a}) = (\vec{p}\cdot\vec{a})\times\vec{a}
(c) \frac{\vec{L}}{R} = \vec{F}t-\vec{v}
(d) (\vec{r}\times\vec{p})\cdot\vec{L} = R(\vec{r}\cdot\vec{p})\vec{p}
(e) \frac{\vec{F}-\vec{p}/t}{m} = \frac{R-\vec{r}}{t^2-t}
(f) \vec{F} = m\frac{\vec{v}\cdot\vec{v}}{R}
(g) |\vec{L}| = \vec{r}\cdot\vec{p}
(h) \frac{W}{t} = \vec{F}\times\left(\vec{v}-\frac{R}{t}\right)

2 Ejemplo de clasificación de vectores

De los sigueinetes vectores ligados con sus respectivos puntos de aplicación:

a) \vec{v}_1 = 2\vec{\imath}-\vec{\jmath} + \vec{k} en A(3,1,1)\,
b) \vec{v}_2 = 2\vec{\imath}+\vec{\jmath} + \vec{k} en B(1,2,0)\,
c) \vec{v}_3 = 2\vec{\imath}-\vec{\jmath} + \vec{k} en C(-1,3,-1)\,
d) \vec{v}_4 = 2\vec{\imath}-\vec{\jmath} + \vec{k} en D(-3,4,-1)\,
e) \vec{v}_5 = 2\vec{\imath}+\vec{\jmath} + \vec{k} en E(7,-1,3)\,

indique cuáles pueden representar al mismo vector deslizante y cuáles al mismo vector libre.

3 Arco capaz

Sean A y B dos puntos diametralmente opuestos en una circunferencia c. Sea P otro punto de la misma circunferencia. Demuestre que los vectores \overrightarrow{AP} y \overrightarrow{BP} son ortogonales.

Inversamente, sean A, B y P tres puntos tales que \overrightarrow{AP} \perp \overrightarrow{BP}. Sea C el punto medio entre A y B. Pruebe que |\overrightarrow{CP}| = |\overrightarrow{CA}|

4 Diagonales de un rombo

Demuestre que las diagonales de un rombo son perpendiculares entre sí.

5 Seno y coseno de una suma

6 Ejemplo de construcción de una base

Dados los vectores

\vec{v}=3\vec{\imath}+4\vec{\jmath}-12\vec{k}        \vec{a}=12\vec{\imath}-16\vec{\jmath}+29\vec{k}

Construya una base ortonormal dextrógira, tal que

  • El primer vector vaya en la dirección de \vec{v}
  • El segundo esté contenido en el plano definido por \vec{v} y \vec{a}
  • El tercero sea perpendicular a los dos anteriores, y orientado según la regla de la mano derecha.

7 Base dual

Sea B_1=\{\vec{v}_1,\vec{v}_2,\vec{v}_3\} una base vectorial arbitraria. Sean \{\vec{w}_1,\vec{w}_2,\vec{w}_3\} tres vectores definidos por

\vec{w}_1=\frac{\vec{v}_2\times\vec{v}_3}{\Delta}        \vec{w}_2=\frac{\vec{v}_3\times\vec{v}_1}{\Delta}        \vec{w}_3=\frac{\vec{v}_1\times\vec{v}_2}{\Delta}        \Delta =\vec{v}_1\cdot(\vec{v}_2\times\vec{v}_3)
1. Demuestre que el conjunto B_2=\{\vec{w}_1,\vec{w}_2,\vec{w}_3\} es también una base (llamada base dual de B1). ¿Cuánto vale el producto mixto de sus vectores?
2. Pruebe que se cumple
\vec{v}_i\cdot\vec{w}_k=\begin{cases} 1 & i = k \\ 0 & i\neq 0\end{cases}
3. Demuestre que las componentes de un vector en la base B1 pueden calcularse proyectando sobre la base B2, esto es, si
\vec{F} = F_1\vec{v}_1 + F_2\vec{v}_2 + F_3\vec{v}_3
la componente k viene dada por
F_k = \vec{F}\cdot\vec{w}_k
4. Halle la base dual de la base
B_1 =\{\vec{\imath},\vec{\imath}+\vec{\jmath},\vec{\imath}+\vec{\jmath}+\vec{k}\}
5. Calcule las componentes del vector
\vec{F} = 2\vec{\imath}-3\vec{\jmath}+\vec{k}
en la base del apartado anterior.
Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/Problemas_de_vectores_libres_(G.I.T.I.)"

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